密な順序

数学において、集合上の半順序または全順序<${\displaystyle X}$すべての​${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle X}$そのために${\displaystyle x<y}$、${\displaystyle z}$で${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle x<z<y}$つまり、任意の2つの要素について、一方が他方より小さい場合、その間に別の要素が存在する。全順序の場合、これは「任意の2つの異なる要素について、その間に別の要素が存在する」と単純化できる。なぜなら、全順序のすべての要素は比較可能であるからである。

言い換えれば、半順序が稠密であるのは、その被覆関係が空である場合に限る。

有理数は、線形順序集合として、この意味では稠密な順序集合であり、代数的数、実数、二進有理数、および小数も同様である。実際、整数のアルキメデス的順序付き環拡張はすべて、${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$これは密に順序付けられた集合である。

一方、整数の線形順序は稠密ではない。

ゲオルク・カントールは、下限も上限もない任意の2つの空でない稠密な全順序可算集合は順序同型であることを証明した。^{[ 1 ]}これにより、境界のない稠密な線形順序の理論は、ωが最小極限順序数であるω-圏論の一例となる。例えば、有理数と、二進有理数や代数的数を含む他の稠密な順序可算集合との間には順序同型が存在する。これらの結果の証明には往復法が用いられる。^{[ 2 ]}

ミンコフスキーの疑問符関数は、二次代数と有理数の間、および有理数と二進有理数の間の順序同型性を決定するために使用できます。

任意の二項関係Rは、 R に関連するすべてのxとyに対して、 xと zおよびzと yがRに関連するようなzが存在する場合に稠密であると言われる。正式には次のようになる。

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$あるいは、 Rとそれ自身との合成という観点から、稠密条件はR ⊆ ( R ; R )と表現できる。^{[ 3 ]} 

集合X上の二項関係Rが稠密であるための十分条件は以下のとおりです。

• Rは反射律です。
• Rは共反射です。
• Rは準反射的である。
• Rは左または右ユークリッドです。
• Rは対称かつ半連結であり、Xは少なくとも3つの要素を持つ。

それらはどれも必須ではありません。例えば、反射的ではないが稠密な関係Rが存在します。空でない稠密な関係は反推移的になり得ません。

厳密な半順序 < は、< が稠密な関係である場合に限り、稠密な順序である。推移的でもある稠密な関係は、冪等であると言われる。

• 稠密集合―位相空間の部分集合で、その閉包が空間全体となるもの
• それ自体で密な部分集合${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle A}$孤立点を含まない
• クリプキ意味論―密なアクセス可能性関係は公理に対応する${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

• David Harel、Dexter Kozen、Jerzy Tiuryn、『動的論理』、MIT Press、2000年、ISBN 0-262-08289-6、 6ページ以降