クラメール予想

数論において、1936年にスウェーデンの数学者ハラルド・クラメールによって定式化されたクラメール予想^{[ 1 ]}は、連続する素数間の間隔の大きさの推定値である。直感的には、連続する素数間の間隔は常に小さいが、この予想は、その間隔が漸近的にどれほど小さくなければならないかを定量化する。それは次のように述べている。

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),}$

ここでp _nはn番目の素数、Oはビッグ O 記法、log は自然対数を表す。これはクラメールが明示的に予想した記述だが、彼のヒューリスティックは実際にはより強い記述を支持している。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

そして、この定式化は時にクラメールの予想と呼ばれる。しかしながら、このより強力なバージョンは、より精度の高いヒューリスティックモデルによって支持されておらず、それらのモデルはクラメールの予想の最初のバージョンを支持している。

最も強い形式は、クラメールが主張したことはなく、実験的検証計算やこの記事のグラフで使用されているもので、単純に

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<(\log p_{n})^{2}.}$

これは、大きな値の場合のモヘビの予想と同じである。${\displaystyle n}$:

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<p_{n}\left(p_{n}^{p_{n}^{\frac {1}{p_{n}}}-1}-1\right)}$。

これら3つの形態はいずれも、まだ証明も反証もされていない。

クラメールは、はるかに弱い命題の条件付き証明を与えた。

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

リーマン予想の仮定に基づく。^{[ 1 ]}最もよく知られている無条件の境界は

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

ベイカー、ハーマン、ピンツによる。^{[ 2 ]}

反対に、E. Westzynthius は 1931 年に素数のギャップが対数的に増加するよりも大きいことを証明しました。つまり、^{[ 3 ]}

$\limsup_{n\to\infty}{p_{n+1}-p_{n}}{log p_{n}}}=\infty .}$

彼の結果はRA Rankinによって改善され、^{[ 4 ]}彼は次のことを証明した。

$\limsup_{n\to\infty}{p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot{\frac{\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.}$

ポール・エルデシュは上記の式の左辺が無限であると推測し、これは2014年にケビン・フォード、ベン・グリーン、セルゲイ・コニャギン、テレンス・タオ^{[ 5 ]}によって、またジェームズ・メイナード^{[ 6 ]}によって独立に証明された。2組の著者は、${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$その年の後半、^{[ 7 ]}は無限に頻繁に、

${\displaystyle \ {p_{n+1}-p_{n}}{>}{\frac {c\cdot \log p_{n}\cdot \log \log p_{n}\cdot \log \log \log \log p_{n}}{\log \log \log p_{n}}}}$

どこ${\displaystyle c>0}$は定数である。

クラメールの予想は、本質的にはヒューリスティックである確率モデルに基づいており、サイズxの数が素数である確率は 1/log xである。これはクラメールのランダムモデルまたは素数のクラメールモデルとして知られている。 ^{[ 8 ]}

クレイマーランダムモデルでは、

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

確率1で。^{[ 1 ]}しかし、アンドリュー・グランビルが指摘したように、^{[ 9 ]}マイヤーの定理は、クラメールのランダムモデルが短い区間における素数の分布を適切に記述していないことを示しており、小さな素数による割り切れる可能性を考慮したクラメールのモデルの改良では、極限は1ではなく定数であるべきであることが示唆されている。${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$（OEIS：A125313 ）${\displaystyle \gamma }$はオイラー・マスケローニ定数である。ヤーノシュ・ピンツは極限 sup が無限大になる可能性があると示唆しており、^{[ 10 ]}同様にレナード・アドレマンとケビン・マッカーリーは次のように述べている。

H. Maierによる連続する素数間のギャップに関する研究の結果、クラメール予想の正確な定式化に疑問が呈された[...]すべての定数に対して、おそらく次のことが依然として正しい。${\displaystyle c>2}$一定の${\displaystyle d>0}$素数と${\displaystyle x}$そして${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$[ ^{11 ]​}

同様に、ロビン・ヴィッサーは次のように書いています。

実際、グランヴィルの研究により、現在ではクラメールの予想は誤りであると広く信じられている。実際、マイヤーの定理など、素数間の短い間隔に関する定理の中には、クラメールのモデルと矛盾するものもある。^{[ 12 ]}

（内部参照は削除済み）

ダニエル・シャンクスは、記録のギャップに関して 、クラメールの予想よりも強い漸近等式を次のように予想した^{[ 13 ] 。}${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x.}$

JH Cadwell ^{[ 14 ]}は最大ギャップの公式を提案した。 ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,}$ これは形式的にはシャンクス予想と同一であるが、より低次の項を示唆している。

Marek Wolf ^{[ 15 ]}は最大ギャップの公式を提案した。${\displaystyle G(x)}$素数計数関数 を用いて表現する$\displaystyle \pi (x)$:

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

どこ${\displaystyle c=\log(2C_{2})=0.2778769...}$そして${\displaystyle C_{2}=0.6601618...}$は双子素数定数です。OEIS : A005597 、A114907を参照してください。これは形式的にはシャンクス予想と同等ですが、より低次の項を示唆しています。

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$。

トーマス・ナイスリーは多くの大きな素数ギャップを計算した。^{[ 16 ]}彼は比率を測定することで、クラメール予想への適合度を評価した。

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

彼はこう書いています。「既知の最大のギャップについては、${\displaystyle R}$1.13付近で推移している。

• 素数定理
• ルジャンドル予想とアンドリカ予想は、素数ギャップに関する、はるかに弱いが未証明の上限である。
• フィロズバクトの推測
• マイヤーの定理：短い区間における素数の数で、モデルが誤った答えを予測する場合

• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（第3 版）.シュプリンガー・フェルラーク. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
• ピンツ、ヤーノス(2007)。「クラメール対クラメール。クラメールの素数の確率モデルについて」。関数と近似の数学的解説。37 (2): 361–376。土井: 10.7169/facm/1229619660。ISSN 0208-6573。MR 2363833。Zbl 1226.11096。   
• Soundararajan, K. (2007). 「素数の分布」。Granville , Andrew、Rudnick, Zeév (編)『数論における等分布入門』。NATO数論における等分布に関する先端研究会論文集、モントリオール、カナダ、2005年7月11日～22日。NATO科学シリーズII：数学、物理学、化学。第237巻。ドルトレヒト ：Springer-Verlag。pp . 59–83。ISBN  978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043 . 

• ワイスタイン、エリック・W. 「クラメール予想」。マスワールド。
• ワイススタイン、エリック・W. 「クラメール・グランヴィル予想」 . MathWorld .