保守的な温度

基本的な熱力学的関係は次のように表される。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle dh-{\frac {1}{\rho }}dp=T\,d\sigma +\mu \,dS}$$

どこ${\displaystyle h}$は比エンタルピーです。${\displaystyle p}$圧力は、${\displaystyle \rho }$密度は、${\displaystyle T}$温度は、${\displaystyle \sigma }$は比エントロピーです。${\displaystyle S}$塩分濃度と${\displaystyle \mu }$海水中の塩の相対的な化学ポテンシャルである。

熱や塩分の交換を伴わないプロセスにおいては、エントロピーと塩分濃度は一定とみなすことができる。したがって、この関係式を圧力に関して偏微分すると、次の式が得られる。

$${\displaystyle \left({\partial h \over \partial p}\right)_{S,\,\sigma }={\frac {1}{\rho }}}$$

この方程式を積分すると、ポテンシャルエンタルピーは${\displaystyle h^{0}}$は基準圧力におけるエンタルピーとして定義される。${\displaystyle p_{r}}$:

$${\displaystyle h^{0}(S,\,\theta ,\,p_{r})=h(S,\,\theta ,\,p)-\int _{p_{r}}^{p}{\frac {1}{\rho (S,\,\theta ,\,p')}}dp'}$$

ここでは、エンタルピーと密度は、塩分濃度、ポテンシャル温度、圧力という3つの状態変数を用いて定義される。

保守的な温度${\displaystyle \Theta }$は、ポテンシャルエンタルピーに直接比例するように定義されます。現場温度と同じ単位（ケルビン）になるように再スケーリングされます。

$${\displaystyle \Theta ={\frac {h^{0}}{C_{p}^{0}}}}$$

どこ${\displaystyle C_{p}^{0}}$= 3989.24495292815 J kg ⁻¹ K ^−1は、比熱容量の基準値であり、海洋表面全体の熱容量の空間平均にできるだけ近い値となるように選択されています。^{[ 2 ] [ 7 ]}

熱力学第一法則は次のように記述できます。^{[ 2 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle \rho \left({D\epsilon \over Dt}-(p_{0}+p){\frac {1}{\rho ^{2}}}{D\rho \over Dt}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {F_{Q}} +\rho \epsilon _{M}}$$

または同等に：

$${\displaystyle \rho \left({Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {F_{Q}} +\rho \epsilon _{M}}$$

どこ${\displaystyle \epsilon }$は内部エネルギーを表します。${\displaystyle \mathbf {F_{Q}} }$熱の流れを表し、${\displaystyle \rho \epsilon _{M}}$は散逸率であり、他の項に比べて小さいため無視できる。演算子${\displaystyle {D \over Dt}={\partial \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$は流体の流れに関する物質微分である。${\displaystyle \mathbf {u} }$、 そして${\displaystyle \nabla }$はナブラ演算子です。

海洋においてポテンシャルエンタルピーが保存的であることを示すためには、熱力学第一法則が保存則の形に書き換えられることを示す必要がある。ポテンシャルエンタルピーの式を物質微分すると、次の式が得られる。

$${\displaystyle {Dh^{0} \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}-{D\theta \over Dt}\int _{p_{r}}^{p}{\frac {{\tilde {\alpha }}(S,\,\theta ,\,p')}{\rho (S,\,\theta ,\,p')}}dp'+{DS \over Dt}\int _{p_{r}}^{p}{\frac {{\tilde {\beta }}(S,\,\theta ,\,p')}{\rho (S,\,\theta ,\,p')}}dp'}$$

どこ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\partial \rho \over \partial \theta }\right)_{S,\,p}}$そして${\displaystyle {\tilde {\beta }}={\frac {1}{\rho }}\left({\partial \rho \over \partial S}\right)_{\theta ,\,p}}$この方程式の右辺の最後の2項は、先に無視した散逸率と同程度かそれよりも小さいことが示されており^{[ 2 ] [ 4 ]}、したがって、この方程式は次のように近似できる。

$${\displaystyle {Dh^{0} \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}}$$

これを熱力学第一法則と組み合わせると、次の式が得られる。

$${\displaystyle \rho {Dh^{0} \over Dt}=-\nabla \cdot \mathbf {F_{Q}} }$$

これは望ましい保存形態である。

保存温度は当初、海洋の熱量に関する誤差を修正するために導入されたため、保存温度が保存されると仮定した場合に生じる相対誤差と、当初ポテンシャル温度が保存されると仮定した場合に生じる相対誤差を比較することが重要です。これらの誤差は、まったく異なるプロセスによる非保存効果から生じます。保存温度では圧縮による仕事によって熱が失われますが、ポテンシャル温度では熱と淡水の表面フラックスによって失われます。^{[ 3 ]}これらの誤差は、ポテンシャル温度の場合よりも保存温度の場合の方が約120倍小さいことが示されており、海洋における熱保存の表現として保存温度の方がはるかに正確です。^{[ 4 ]}

TEOS-10フレームワークでは、海洋モデルにおけるポテンシャル温度の代替として、保守的な温度が推奨されています。^{[ 1 ]} TEOS-10のその他の開発内容は以下のとおりです。

• 実測塩分濃度を絶対塩分濃度に置き換える${\displaystyle S_{A}}$主要な塩分変数として、^{[ 10 ]}
• 生物地球化学的プロセスにおける保存変数としての既成塩分の導入、^{[ 11 ]}
• ギブス関数に関してすべての海洋変数を定義する。^{[ 12 ]}

保守的な温度は、結合モデル相互比較プロジェクト第6段階（CMIP6）に参加しているモデルなど、いくつかの海洋大循環モデルに実装されています。 ^{[ 9 ]}しかし、これらのモデルは以前の世代では主にポテンシャル温度を使用していたため、すべてのモデルが保守的な温度に切り替えることを決定したわけではありません。