球面測定

数学、特に幾何学的測度論において、球面測度 σ ^{n は}n球面S ⁿ上の「自然な」ボレル測度です。球面測度は、球面上の確率測度、つまりσ ⁿ ( S ⁿ ) = 1 となるように正規化されることがよくあります。

球面測度を定義する方法はいくつかあります。1つは、S ⁿ上の通常の「円周」または「弧長」計量 ρ _{n を}使用することです。つまり、S ⁿ内の点xとyについて、ρ _n ( x ,  y ) は、球の中心 ( R ^{n +1}の原点) でそれらが囲む (ユークリッド) 角度として定義されます。次に、計量空間 ( S ⁿ、  ρ _n ) 上にn次元ハウスドルフ測度H ^{n を}構築し、次のように定義します。

${\displaystyle \sigma^{n}={\frac {1}{H^{n}(\mathbf {S}^{n})}}H^{n}.}$

S ^{n に、}ユークリッド空間R ^{n +1}の部分空間として継承する計量を与えることもできます。この計量の選択から、同じ球面測度が得られます。

別の方法は、周囲ユークリッド空間R ^{n +1上の}ルベーグ測度 λ ^{n +1を使用する。S n}の任意の測定可能な部分集合 A に対して、球B  n +1 内の「くさび」の ( n + 1) 次元体積を^{σ n} ( A ) と定義し^、その体積は原点に及ぶ。つまり、

${\displaystyle \sigma^{n}(A):={\frac {1}{\alpha (n+1)}}\lambda^{n+1}(\{tx\mid x\in A,t\in [0,1]\}),}$

どこ

${\displaystyle \alpha (m):=\lambda ^{m}(\mathbf {B} _{1}^{m}(0)).}$

これらすべての方法がS ⁿ上で同じ測度を定義するという事実は、Christensen の優れた結果から導かれます。つまり、これらすべての測度は明らかにS ⁿ上で均一に分布しており、分離可能な計量空間上で均一に分布する任意の 2 つのボレル正規測度は、互いに定数 (正) の倍数でなければなりません。候補となるσ ⁿはすべて確率測度として正規化されているため、すべて同じ測度です。

球面測度と球面上のハウスドルフ測度および周囲空間上のルベーグ測度との関係についてはすでに議論されている。

球面測度は直交群上のハール測度と良い関係がある。O( n ) をR ⁿに作用する直交群とし、θ ^{n を}その正規化されたハール測度とする（θ ⁿ (O( n )) = 1）。直交群は球面S ^{n −1にも作用する。すると、任意の}x  ∈  S ^{n −1}および任意のA  ⊆  S ^{n −1}に対して、

${\displaystyle \theta^{n}(\{g\in \mathrm {O} (n)\mid g(x)\in A\})=\sigma^{n-1}(A).}$

S ^{n が}位相群である場合（つまり、nが 0、1、または 3 の場合）、球面測度σ ^{n は}S ⁿ上の（正規化された）ハール測度と一致します。

通常のメートル法と球面測定による球面には 等周不等式があります(Ledoux & Talagrand、第 1 章を参照)。

A  ⊆  S ^{n −1}が任意のボレル集合であり、B ⊆  S ^{n −1が}Aと同じσ ⁿ測度を持つρ _n球体である場合、任意のr  > 0 に対して、

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq \sigma ^{n}(B_{r}),}$

ここでA _{r は}Aのrによる「膨張」を表し、すなわち

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in \mathbf {S} ^{n}\mid \rho _{n}(x,A)\leq r\}.}$

特に、σ ⁿ ( A ) ≥  ⁠1/2⁠かつn  ≥ 2 の場合、

${\displaystyle \sigma^{n}(A_{r})\geq 1-{\sqrt {\frac {\pi}{8}}}\,\exp \left(-{\frac {(n-1)r^{2}}{2}}\right).}$

• Christensen, Jens Peter Reus (1970)。「ハール測度に類似したいくつかの測度について」。Mathematica Scandinavica 26 : 103–106。ISSN 0025-5521  。 MR0260979​
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991).バナッハ空間における確率. ベルリン: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9。 MR 1102015（第1章参照）
• Mattila, Pertti (1995)。ユークリッド空間における集合と測度の幾何学：フラクタルと修正可能性。Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 44。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp. xii+343。ISBN 0-521-46576-1。 MR 1333890（第3章参照）