コンプトン波長は、その粒子の 静止エネルギー と同じエネルギー を持つ光子の波長 として定義されます。[ 1 ] : 237 [ 2 ] [ 3 ]
これは、1923年にアーサー・コンプトンが 電子 による光子 の散乱（コンプトン散乱 として知られるプロセス）の説明の中で導入したものです。放出される光子の波長は、λ ′ {\displaystyle \lambda '} λ 0 \displaystyle \lambda _{0}} λ ′ − λ 0 = λ c （ 1 − コス θ ） {\displaystyle \lambda '-\lambda _{0}=\lambda _{c}(1-\cos \theta )} λ c = h / m c {\displaystyle \lambda _{c}={h}/{mc}} h はプランク定数 、cは 光速で ある。[ 1 ]
コンプトン波長の減少 粒子の換算コンプトン波長ƛ（バー付きラムダ）は、そのコンプトン波長を2πで割った もの として定義 さ れる 。 λ ¯ = λ 2 π = ℏ m c 、 {\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},} ħは 換算プランク定数 である。換算コンプトン波長は量子スケールでの質量の自然な表現であり、クライン・ゴルドン方程式やシュレーディンガー方程式などの慣性質量に関する方程式で使用される。[ 4 ]
質量と相互作用する光子の波長に関する方程式では、非換算コンプトン波長を使用します。質量m の粒子は、静止エネルギーがE = mc² 周波数 f の光子の場合、エネルギーは次のように与えられます 。 E = h f = h c λ = m c 2 、 {\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},} これをλ について解くと、コンプトン波長の公式が得られる。
質量を持つ粒子の方程式における役割 逆コンプトン波長は量子スケールにおける質量の自然な表現であり、そのため量子力学の基本方程式に現れる。自由粒子 の相対論的クライン・ゴルドン方程式 には、逆コンプトン波長が現れる。 ∇ 2 ψ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ = （ m c ℏ ） 2 ψ 。 ${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$
これはディラック方程式 に現れる（以下はアインシュタインの総和規約 を用いた明示的な共変形 式である）。 − 私 γ μ ∂ μ ψ + （ m c ℏ ） ψ = 0. {\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}
水素様原子 中の電子に関するシュレーディンガー方程式 にも、コンプトン波長の減少が現れるが、これは従来の方程式の表現では容易には明らかにならない。以下は、シュレーディンガー方程式の従来の表現である。 私 ℏ ∂ ∂ t ψ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ − 1 4 π ϵ 0 Z e 2 r ψ 。 {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}
ħc 微細構造定数 を用いて書き直すと、次の式が得られる。 私 c ∂ ∂ t ψ = − λ ¯ 2 ∇ 2 ψ − α Z r ψ 。 \displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}
他の定数との関係 コンプトン波長がシュワルツシルト半径と一致する粒子は、1プランク質量を持ち、1プランク長に及び、1プランクエネルギーを放射する。 物理学における典型的な原子長、波数、および面積は、電子の縮小コンプトン波長と関連付けることができる（ λ ¯ e ≡ λ e 2 π ≃ 386 f m {\displaystyle \textstyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq \mathrm {386~fm} } 微細構造定数 ( α ≃ 1 137 {\displaystyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}
古典的な電子半径は 陽子半径 の約3倍であり、次のように表される。 r e = α λ ¯ e ≃ 2.82 FM {\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}
ボーア半径 はコンプトン波長と以下の関係にある。 1 0 = λ ¯ e α ≃ 5.29 × 10 4 FM {\displaystyle a_{0}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}
1ハートリー （原子のエネルギー単位 ） 波数 E h = 4 π ℏ c R ∞ {\displaystyle E_{\text{h}}=4\pi \hbar cR_{\infty }} R ∞ \displaystyle R_{\infty }} は リュードベリ定数 であり、水素原子中の電子の負のポテンシャルエネルギーに（おおよそ）等しく、水素原子をイオン化するために必要なエネルギーの2倍である。 ℏ c E h = 1 4 π R ∞ = λ ¯ e α 2 ≃ 7.25 nm {\displaystyle {\frac {\hbar c}{E_{\text{h}}}}={\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 7.25~{\textrm {nm}}}
これにより、以下のシーケンスが得られます。 α − 1 r e = λ ¯ e = α 1 0 = α 2 ℏ c / E h 。 {\displaystyle \alpha ^{-1}r_{\text{e}}=\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}=\alpha a_{0}=\alpha ^{2}{\hbar c/E_{\text{h}}}.}
フェルミオン の場合、古典的（電磁気的）半径が粒子の電磁相互作用の断面積を決定します。たとえば、電子からの光子の トムソン散乱 の断面積は、σ e = 8 π 3 r e 2 ≃ 66.5 f m 2 、 {\displaystyle \sigma _{\mathrm {e} }={\frac {8\pi }{3}}r_{\text{e}}{}^{2}\simeq \mathrm {66.5~fm^{2}} ,}
幾何学的解釈 コンプトン波長の幾何学的起源は、波束の運動を記述する半古典方程式を用いて実証されている。[ 11 ] 。 g k k = λ C {\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}
参考文献 1 2 エヴァンス、ロブリー D. (2012) [第 1 出版物。 1958]、「コンプトン効果」、Flügge, S. (編)、物質 II の微粒子と放射線 / 物質 II のコルプスケルンとシュトラールング 、第 1 巻。 6 / 34、ベルリン、ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg、pp. 218–298 、doi : 10.1007/978-3-642-45898-9_6、ISBN 978-3-642-45900-9 2026年6月10日 取得 ↑ グライナー、ウォルター (1990). 相対論的量子力学：波動方程式 . ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー・ベルリン・ハイデルベルク. ISBN 978-3-642-88082-7 。↑ Carr, Bernard J. (2016), "The Black Hole Uncertainty Principle Correspondence" , Nicolini, Piero; Kaminski, Matthias; Mureika, Jonas; Bleicher, Marcus (eds.), 1st Karl Schwarzschild Meeting on Gravitational Physics , vol. 170, Cham: Springer International Publishing, pp. 159–167 , doi : 10.1007/978-3-319-20046-0_19 , ISBN 978-3-319-20045-3 2026年6月11日 取得↑ Greiner, W. (1990). 相対論的量子力学: 波動方程式 . ベルリン/ハイデルベルク: Springer. pp. 18–22 . ↑ 「2022 CODATA値：コンプトン波長」 。NIST 定数、単位、不確かさに関する参照資料 。NIST 。2024年5月 。 2024 年5月18日取得 。 ↑ 「2022 CODATA値：縮小コンプトン波長」 。NIST 定数、単位、不確かさに関する参照資料 。NIST 。2024年5月。2024年5月 18 日 取得 。 ↑ 「2022 CODATA値：ミューオンコンプトン波長」 。NIST 定数、単位、不確実性に関する参照資料 。NIST 。2024年5月。2024年5月 18 日 取得 。 ↑ 「2022 CODATA値：ミューオンコンプトン波長の低減」 。NIST 定数、単位、不確実性に関する参照資料 。NIST 。2024年5月 。 2024年5月18日 取得 。 ↑ 「2022 CODATA値：τコンプトン波長」 。NIST 定数、単位、不確かさに関する参照 。NIST 。2024年5月 。 2024 年5月18日取得 。 ↑ 「2022 CODATA値：縮小タウコンプトン波長」 。NIST 定数、単位、不確実性に関する参照 。NIST 。2024年5月。2024年5月 18 日 取得 。 ↑ Leblanc, C.; Malpuech, G.; Solnyshkov, DD (2021-10-26). "Universal semiclassical equations based on the quantum metric for a two-band system" . Physical Review B. 104 ( 13) 134312. arXiv : 2106.12383 . Bibcode : 2021PhRvB.104m4312L . doi : 10.1103/PhysRevB.104.134312 . ISSN 2469-9950 . S2CID 235606464 . 
