タイプ（モデル理論）

モデル理論や数学の関連分野において、型とは、数学的構造内の（実際のまたは可能性のある）要素または要素の有限集合がどのように動作するかを記述するオブジェクトです。より正確には、型とは、 L構造のn組の集合に当てはまる、自由変数x ₁、x ₂、...、x _nを持つ言語Lの 1階式の集合です。コンテキストに応じて、型は完全または部分的であり、構造の固定された定数セットAを使用する場合があります。どの型が の実際の要素を表すかという問題は、飽和モデルや省略型のアイデアにつながります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

言語Lの構造 を考えてみましょう。構造の宇宙を M とします。すべての A ⊆ M に対して、L ( A  ) をすべてのa ∈ A に対して 定数c a を加えることでL_から得られる言語とします。言い換えると、 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle L(A)=L\cup \{c_{a}:a\in A\}.}$

A上の1-型 (の)は、 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ L ( A )内の式の集合p ( x )で、自由変数xが最大で 1 つ(したがって 1-型) であり、すべての有限部分集合 p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) に対して、_p 0 ( x  )に依存し_て、何らかのb ∈ M が存在し、次 の 式が成り立つ(つまり、x がbに置き換えられた場合、p ₀ ( x ) 内のすべての式が で真である)。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p_{0}(b)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

同様に、A上のn型 (の)は、 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ L ( A )の式の集合p ( x ₁ ,..., x _n ) =  p ( x ) として定義され、各式の自由変数は、与えられたn個の自由変数x ₁ ,..., x _nの間でのみ発生し、すべての有限部分集合p ₀ ( x ) ⊆  p ( x )に対して、を満たす要素b ₁ ,..., b _n  ∈  Mが存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p_{0}(b_{1},\ldots ,b_{n})}$

A上の の完全型は、包含に関して最大​​となる型です。同様に、 または の いずれかに対してとなります。完全でない型は部分型と呼ばれます。したがって、一般に型という言葉は、任意の選択されたパラメータ セット (空集合の可能性もあります) 上のn型 (部分的または完全) を指します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in L(A,{\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \lnot \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$

n型p ( x )は次のように表現される。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$となる要素b  ∈  M ⁿが存在する場合、は で実現されます。このような実現の存在は、コンパクト性定理によって任意の型に対して保証されますが、実現は自体ではなく の何らかの基本拡張で発生する可能性があります。完全型がでbによって実現される場合、その型は通常、A上のbの完全型として示され、参照されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p({\boldsymbol {b}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle tp_{n}^{\mathcal {M}}({\boldsymbol {b}}/A)}$

型p ( x ) は、すべてに対して が成り立つ場合、に対してによって孤立して${\displaystyle \varphi}$いると言われます。 型の有限部分集合は常に で実現されるため、 においてφ ( b ) が真となる要素b  ∈  M ⁿが常に存在します。つまり、bは孤立型全体を実現します。したがって、孤立型は、すべての基本的サブ構造または拡張で実現されます。このため、孤立型を省略することはできません (以下を参照)。 ${\displaystyle \varphi \in p(x)}$${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}}),}$${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {M}})\models \varphi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow \psi ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi ({\boldsymbol {b}})}$

可能な限り多様な型を実現するモデルは飽和モデルと呼ばれ、超べき乗構成は飽和モデルを生成するための 1 つの方法を提供します。

1 つの 2 項関係記号を持つ言語L を考えます。この記号は と表記されます。 はこの言語の構造で、標準的な整列を持つ順序数です。の1 階理論をと表記します。 ${\displaystyle \in}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \langle \omega ,\in _{\omega }\rangle }$ ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

L (ω)-式の集合 について考えます。まず、これが型であると主張します。を の有限部分集合とします。のすべての式を満たす を見つける必要があります。式集合 に記載されている最大の順序数の次の を取ればよいのです。すると、 に記載されているすべての順序数が明らかに含まれることになります。したがって、 は型であることがわかります。次に、 は では実現されないことに注意してください。 であれば、のすべての要素を含む が存在することになるからです。 型を実現したい場合、構造 を検討したくなるかもしれません。これは、型を実現する の拡張です。残念ながら、この拡張は基本的ではありません。たとえば、 は満たされません。特に、文 はこの構造によって満たされますが、 では満たされません。 ${\displaystyle p(x):=\{n\in _{\omega }x\mid n\in \omega \}}$${\displaystyle p_{0}(x)\subseteq p(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle b\in \omega }$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{0}(x)}$${\displaystyle p_{0}(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \langle \omega +1,\in _{\omega +1}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\lor y=x)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

そこで、基本的な拡張で型 を実現したいとします。これは、と表記する新しいL構造を定義することで実現できます。構造のドメインは となり、は となるように装飾された整数の集合です。がの通常の順序を表すものとします。新しい構造のシンボルを と解釈します。これは、有限順序数の上に「 -チェーン」、つまり整数のコピーを追加するという考え方です。明らかに、 の任意の要素が型 を実現します。さらに、この拡張が基本的であることを確認できます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}'}$${\displaystyle \omega \cup \mathbb {Z} '}$${\displaystyle \mathbb {Z} '}$${\displaystyle \mathbb {Z} '\cap \omega =\emptyset }$${\displaystyle <}$${\displaystyle \mathbb {Z} '}$${\displaystyle \in}$${\displaystyle \in _{{\mathcal {M}}'}=\in _{\omega }\cup <\cup \,(\omega \times \mathbb {Z} ')}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} '}$${\displaystyle p(x)}$

もう 1 つの例: 空集合上の数 2 の完全な型は、自然数のメンバーとして考えられ、変数x を記述し、 x = 2のときに真となるすべての第 1 階述語 (ペアノ算術の言語) の集合になります。この集合には、、、など の式が含まれます。これは孤立型の例です。自然数理論に基づいて、式は数 2 について真である他のすべての式を意味するためです。 ${\displaystyle \,\!x\neq 1+1+1}$${\displaystyle x\leq 1+1+1+1+1}$${\displaystyle \exists y(y<x)}$${\displaystyle x=1+1}$

さらに別の例として、

${\displaystyle \forall y(y^{2}<2\implies y<x)}$

そして

${\displaystyle \forall y((y>0\land y^{2}>2)\implies y>x)}$

2 の平方根を記述する は、順序体の公理と一致しており、完全な型に拡張できます。この型は、有理数の順序体では実現されませんが、実数の順序体では実現されます。同様に、式の無限集合 (空集合上) {x>1、x>1+1、x>1+1+1、...} は、実数の順序体では実現されませんが、超実数の順序体では実現されます。同様に、アルキメデスの性質に違反する無限小の超実数によって実現される型を指定できます。 ${\displaystyle \{0<x<1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}$

パラメータをモデルの特定のサブセットに制限することが有用な理由は、満たすことができるタイプと満たすことができないタイプを区別するのに役立つためです。たとえば、実数のセット全体をパラメータとして使用すると、、、... のような、 x のすべての可能な実数値を明示的に除外する、したがって実数内で実現できない、無限の数の式のセットを生成できます。 ${\displaystyle x\neq 1}$${\displaystyle x\neq \pi }$

A上の完全なn型の集合を位相空間として考えると便利です。A内のパラメータを持つ自由 変数x ₁ ,..., x _nの式に関する次の同値関係を考えます。

${\displaystyle \psi \equiv \phi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models \forall x_{1},\ldots ,x_{n}(\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

それらがまったく同じ完全な型に含まれている場合にのみ、 それを証明できます。${\displaystyle \psi \equiv \phi }$

この同値関係までのA上の自由変数x ₁ ,..., x _{n の}式の集合はブール代数です（そしてM ⁿのA定義可能部分集合の集合と標準同型です）。完全なn型は、このブール代数の超フィルタに対応します。完全なn型の集合は、与えられた式を含む型の集合を開集合の基底としてとることで位相空間にすることができます。これにより、ブール代数に関連付けられたストーン空間が構築されます。これは、コンパクトで、ハウスドルフで、完全に分離されている空間です。

例:標数0 の代数的に閉じた体の完全な理論には量指定子の除去があり、これにより、可能な完全な 1 型 (空集合上) が以下に対応することを示すことができます。

• 与えられた既約な非定数多項式の、先頭係数が 1 である有理数上の根。たとえば、2 の平方根のタイプ。これらの各タイプは、ストーン空間の孤立点です。
• 超越元は、非ゼロ多項式の根ではありません。このタイプは、閉じているが孤立していないストーン空間内の点です。

言い換えれば、 1 型は、有理数Q上の多項式環Q [ x ]の素イデアルに正確に対応します。つまり、 r がp型のモデルの要素である場合、 pに対応するイデアルは、 rを根とする多項式の集合です( r が超越数である場合は、ゼロ多項式のみです)。より一般的には、完全なn型は、多項式環Q [ x ₁ ,..., x _n ]の素イデアル、つまりこの環の素スペクトルの点に対応します。 （ストーン空間位相は、実際にはブール代数から自然な方法で誘導されたブール環のザリスキ位相と見なすことができます。ザリスキ位相は一般にハウスドルフではありませんが、ブール環の場合はハウスドルフです。）たとえば、q（x、y）が2変数の既約多項式である場合、（非公式には）q（x、y ）=0である要素のペア（ x ​​、y ）で実現される2型が存在します。

完全なn型pが与えられた場合、 p を省略する 理論モデルが存在するかどうか、言い換えれば、p を実現するモデルにn組が存在しないかどうかを尋ねることができます。p がストーン空間内の孤立点である場合、つまり { p } が開集合である場合、すべてのモデルがp を実現することは簡単にわかります(少なくとも理論が完全である場合)。省略型定理によれば、逆にpが孤立していない場合は、 p を省略した可算モデルが存在することになります(言語が可算である場合)。

例: 標数 0 の代数的閉体の理論では、素体 Q上で超越的な元によって表現される 1 型が存在する。これは、ストーン空間の孤立点ではない (実際には唯一の孤立点ではない)。代数的数体はこの型を省略したモデルであり、有理数の任意の超越的拡大の代数的閉包は この型を実現するモデルである。

他のすべての型は「代数的数」（より正確には、それらは、ある特定の代数的数によって満たされる一階述語の集合）であり、そのような型はすべて、特性 0 のすべての代数的に閉じた体で実現されます。

• ホッジス、ウィルフリッド（1997）。短縮モデル理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58713-1。
• Chang, CC ; Keisler, H. Jerome (1989).モデル理論(第 3 版). Elsevier . ISBN 0-7204-0692-7。
• マーカー、デイビッド（2002）。モデル理論：入門。数学大学院テキスト。第217巻。シュプリンガー。ISBN 0-387-98760-6。