完全な理論

数理論理学では、理論 が完全であるとは、理論が矛盾なく、理論の言語におけるすべての閉じた式に対して、その式またはその否定のいずれかが証明可能である場合をいう。つまり、すべての文 に対して、理論にはその文またはその否定のいずれかが含まれるが、両方は含まれない（つまり、 または のいずれか）。 ゲーデルの第1不完全性定理で実証されているように、矛盾がなく、一般的な数学的推論を定式化できるほど豊富な、再帰的に公理化可能な第 1 階の理論は完全ではない。 ${\displaystyle \varphi ,}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\vdash \varphi }$${\displaystyle T\vdash \neg \varphi }$

この完全性の意味は、完全な論理の概念とは異なります。完全な論理は、論理で定式化できるすべての理論について、意味的に有効なすべてのステートメントは証明可能な定理であると主張します (「意味的に有効」の適切な意味の場合)。ゲーデルの完全性定理は、この後者の種類の完全性に関するものです。

完全な理論は、 Tスキーマを内部的にモデル化するいくつかの条件下で閉じられています。

• 一連の式について：かつ の場合にのみ、${\displaystyle S}$${\displaystyle A\land B\in S}$${\displaystyle A\in S}$${\displaystyle B\inS}$
• 一連の式について、またはの場合にのみ成り立ちます。${\displaystyle S}$${\displaystyle A\or B\in S}$${\displaystyle A\in S}$${\displaystyle B\inS}$

最大無矛盾集合は、古典論理と様相論理のモデル理論における基本的なツールです。特定のケースで最大無矛盾集合が存在することは通常、矛盾には有限個の前提のみの使用が含まれるという考えに基づく、ゾルンの補題の直接的な帰結です。様相論理の場合、理論T (必然性規則の下で閉じている)を拡張する最大無矛盾集合のコレクションに、標準モデルと呼ばれる Tのモデルの構造を与えることができます。

完全な理論の例をいくつか挙げます。

• プレスブルガー算術
• ユークリッド幾何学におけるタルスキの公理
• 端点のない密な 線形順序の理論
• 与えられた特性を持つ代数的に閉じた体の理論
• 実閉体理論
• あらゆる非可算カテゴリカル 可算理論
• すべての可算カテゴリカル可算理論
• 3つの要素のグループ
• 真の算術またはその他の基本的な図

• リンデンバウムの補題
• Łoś-Vaught テスト

• メンデルソン、エリオット (1997)。『数学論理入門』（第 4 版）。チャップマン & ホール。p. 86。ISBN 978-0-412-80830-2。