スケールされた相関

統計学において、スケーリング相関は、時系列などの時間的要素を持つデータに適用できる相関係数の一種です。これは短期相関の平均です。信号に複数の成分（低速成分と高速成分）がある場合、低速成分の影響を無視して、信号の高速成分のみについてスケーリング相関係数を計算できます。^{[ 1 ]}このフィルタリングのような操作には、信号の正弦波的な性質について仮定する必要がないという利点があります。

例えば、脳信号の研究では、研究者は高周波成分（ベータ波とガンマ波の範囲、25～80Hz  ）に関心を持つことが多く、低周波成分（アルファ波、シータ波など）には関心を持たない場合があります。その場合、分析のスケールsをその周波数の周期に合わせることで（例えば、 25Hzの振動の場合はs  =  40ms  ）、25Hzより高い周波数についてのみ、スケーリングされた相関を計算できます。

2つの信号間のスケーリングされた相関は、それらの信号の短いセグメントにわたって計算された平均相関として定義されます。まず、セグメントの数を決定する必要があります。${\displaystyle K}$全長に収まるもの${\displaystyle T}$特定のスケールの信号${\displaystyle s}$:

${\displaystyle K=\operatorname {round} \left({\frac {T}{s}}\right).}$

次に、もし$\displaystyle r_{k}}$セグメント間のピアソン相関係数${\displaystyle k}$信号全体にわたるスケーリングされた相関${\displaystyle {\bar {r}}_{s}}$は次のように計算されます

$\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {1}{K}}\sum \limits _{k=1}^{K}r_{k}.}$

Nikolić ら^{[ 1 ]}は詳細な分析で、遅い成分の寄与がどの程度減衰するかは、スケールの選択、遅い成分と速い成分の振幅比、およびそれらの振動周波数の差という 3 つの要因に依存することを示した。振動周波数の差が大きいほど、計算された相関係数から遅い成分の寄与がより効率的に除去される。同様に、遅い成分のパワーが速い成分に比べて小さいほど、スケーリングされた相関の性能が向上する。

スケーリング相関は、自己相関および相互相関に適用することで、異なる時間遅延で高周波成分の相関がどのように変化するかを調べることができます。各時間シフトに対してクロススケーリング相関を適切に計算するには、各時間シフト後に信号を新たにセグメント化する必要があります。言い換えれば、セグメント化を適用する前に信号は常にシフトされます。スケーリング相関はその後、視覚野の同期ハブを調査するために使用されました。^{[ 2 ]}スケーリング相関は、機能ネットワークを抽出するためにも使用できます。^{[ 3 ]}

多くの場合、スペクトル法に基づく信号フィルタリングよりも、スケーリング相関の方が好ましい。スケーリング相関の利点は、信号のスペクトル特性（例えば、信号の正弦波形状）について仮定を置かないことである。Nikolić ら^{[ 1 ]}は、ウィーナー・ヒンチン定理を用いて遅い成分を除去する方法は、スケーリング相関によって得られる結果よりも劣ることを示した。これらの利点は、信号が非周期的である場合や、神経活動電位が検出されたタイムスタンプなどの離散的なイベントで構成されている場合、特に明らかになる。

多重解像度相関分析を用いた可視化により、異なるスケールにわたる相関構造の詳細な洞察が得られる。^{[ 4 ]}

• 自己相関
• コヒーレンス（信号処理）
• 畳み込み
• 相関
• 相互相関
• 位相相関
• スペクトル密度
• クロススペクトル
• ウィーナー・ヒンチン定理

• スケーリングされた相互相関を計算するための無料のソースコードとMATLAB用のインターフェースは、こちらからダウンロードできます：http://www.raulmuresan.ro/sources/corrlib/ 
• Pythonによる簡単なデモコード：https://github.com/dankonikolic/Scaled-Correlation