チャーンの予想（アフィン幾何学）

アフィン平坦多様体に対するチャーンの予想は、1955年にアフィン幾何学の分野でシー・シェン・チャーンによって提唱されました。2018年現在、これは未解決の数学問題のままです。

チャーンの予想によれば、コンパクトなアフィン多様体のオイラー特性は消滅する。

接続∇がリーマン計量のレヴィ・チヴィタ接続である場合、チャーン・ガウス・ボネの公式：

${\displaystyle \chi (M)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{M}\operatorname {Pf} (K)}$

はオイラー特性がゼロであることを意味します。しかし、 上の平坦なねじれのない接続のすべてが互換性のある計量を許容するわけではないため、チャーン・ヴェイユ理論は一般にオイラー類を曲率の観点から記述するために使用することはできません。 ${\displaystyle TM}$

この予想はいくつかの特殊なケースで成り立つことが知られています。

• コンパクトアフィン多様体が2次元の場合（1955年にジャン＝ポール・ベンゼクリによって示され、その後1957年にジョン・ミルナーによって示された^[1]）
• コンパクトなアフィン多様体が完備な場合（つまり、アフィン変換の離散群の適切な作用の下でアフィン空間の商空間にアフィン微分同相な場合）、予想は真である。結果は1975年にバートラム・コスタントとデニス・サリバンによって示された。結果はアウスランダー予想からも直ちに導かれる。コスタントとサリバンは、オイラー標数がゼロでない閉多様体は完全なアフィン構造を許容できないことを示した。
• コンパクトなアフィン多様体が高階既約局所対称多様体である場合（ 1984年にウィリアム・ゴールドマンとモリス・ハーシュによって示されたように、彼らは高階既約局所対称多様体がアフィン構造を決して許容しないことを示した）
• コンパクトアフィン多様体が局所的に双曲平面の積である場合（2011年にMichelle BucherとTsachik Gelanderによって示されたように）
• コンパクトアフィン多様体が平行体積形式（すなわち、SLにおける線型ホロノミーを伴う）を許容する場合（これは2015年にブルーノ・クリングラーによって示された。この弱い証明されたケースは特殊アフィン多様体に対するチャーンの予想として知られていた。マルクスの予想はこれが完全であることと同等であると予測する）${\displaystyle (n,\mathbb {R} )}$
• コンパクトなアフィン多様体が複素双曲面である場合（2016年にヘスター・ピータースが示したように）

さらに関連する結果が得られました:

• 1958年、ミルナーは、平面接続を許容する曲面上の2つの有向ランクバンドルを完全に特徴付ける不等式を証明した。
• 1977年、スミリーは接続がねじれのない条件が重要であることを証明した。2より大きい偶数次元ごとに、スミリーは接線束上に平坦な接続を許容する非ゼロのオイラー特性を持つ閉多様体を構築した^[2]

平坦な擬リーマン多様体または複素アフィン多様体の場合、これはチャーン・ガウス・ボネの定理に従います。

また、 1975年にMWヒルシュとウィリアム・サーストンが不完全アフィン多様体に対して証明したように、ホロノミー群が有限拡大、つまり従属群の自由積である場合にこの予想は成り立つ（ただし、彼らの結果は多様体上の任意の平坦バンドルに適用される）。^[3]

1977年、ジョン・スミリーは、非零の捩れ平坦接続と非零のオイラー特性を持つ接線束を持つ多様体を作り出し、閉じた平坦多様体のオイラー特性が消えるかどうかを問う予想の強いバージョンを反証した。^[2]

その後、キム・ヒュイクとリー・ヒョンクーは、イーサン・ブロックとキム・リーが開発した非標準多面体ガウス・ボネ定理を用いた別の手法で、アフィン多様体、さらに一般的には射影多様体が従順なホロノミーを持つアフィン空間に展開することを証明した。 ^{[4] [5]}

2002年、Suhyoung Choiは、閉じたアフィン多様体のホロノミーが有限群に沿って併合またはHNN拡張された従属群に同型である場合、多様体のオイラー特性は0であるというHirschとThurstonの結果を若干一般化した。彼は、従属基本群を持つK ( π ,1)からの連結和演算から偶数次元多様体が得られる場合、多様体はアフィン構造を許容しないことを示した（Smillieの結果を一般化）。^[6]

2008 年、スミリーによる平坦接線束を持つ閉多様体の簡単な例 (これらは曲率がゼロのアフィン接続を持ちますが、ねじれはゼロではない可能性があります) の後、ブッチャーとゲランダーはこの方向でさらなる結果を得ました。

2015 年、ミハイル・ココスは、この予想を解くための可能な方法を提案し、閉じた偶数次元アフィン多様体のオイラー特性が消えることを証明しました。

2016年、南開大学の馮涛（中国語：冯惠涛）と張衛平は、一般の場合にこの予想を証明したと主張したが、重大な欠陥が見つかったため、その後主張は撤回された。訂正後、彼らの現在の結果は、平坦ベクトル束のオイラー数を横断開被覆の頂点に関して数える公式である。^[7]

悪名高いことに、チャーンによって証明された閉じたアフィン多様体のオイラー特性が 0 であるという固有のチャーン・ガウス・ボネ定理は、線形接続ではなく直交接続にのみ適用され、そのためこの一般性において推測が未解決のままになっています (アフィン多様体はリーマン多様体よりもかなり複雑であり、リーマン多様体では計量完全性が測地完全性と同等です)。

ミハイル・レオニドヴィッチ・グロモフによるアフィン多様体の有界コホモロジーの消失に関する関連予想も存在する。 ^[8]

チャーンの予想は、次の予想の特殊なケースと考えることができます。

オイラー特性がゼロでない閉じた非球面多様体は平坦な構造を許容しない

この予想はもともと、非球面多様体だけでなく、一般的な閉多様体に対して述べられたものであり (ただし、Smillie のおかげで反例があります)、それ自体は、さらに一般的な予想の特殊なケースと見なすこともできます。

非ゼロの単体体積を持つ閉じた非球面多様体は平坦な構造を許容しない

このようにアフィン多様体に対するチャーンの予想を一般化すると、局所的に面の積である多様体に対する 一般化チャーンの予想として知られています。

• JP Benzécri、Variétés localment plate、プリンストン大学Ph.D.論文 (1955)
• JP Benzécri、Sur les variétés localement affines et projectives、Bulletin de la Société Mathématique de France、volume 88 (1960)、pp. 229–332
• W. ゴールドマンと M. ハーシュ、「アフィン多様体上の放射妨害と平行形式」、アメリカ数学会誌、第 286 巻、第 2 号 (1984)、pp. 629–649
• M. Bucher と T. Gelander、「局所的に曲面の積である多様体に対するミルナー・ウッド不等式」、Advances in Mathematics、第 228 巻 (2011)、pp. 1503–1542
• H. Pieters、双曲空間と有界コホモロジー、ジュネーブ大学博士論文 (2016)
• B. コスタントと D. サリバン、「アフィン空間形式のオイラー特性はゼロである」、アメリカ数学会報、第 81 巻、第 5 号 (1975 年)、937 ～ 938 ページ
• J. ミルナー、曲率ゼロとの関係の存在について、Commentarii Mathematici Helvetici、第 32 巻 (1957 年)、215 ～ 223 ページ
• B. クリングラー、特殊アフィン多様体に対するチャーンの予想、プレプリント 2015
• B. クリングラー、「特殊アフィン多様体に対するチャーンの予想」、数学年報、第 186 巻 (2017 年)、pp. 1–27
• M. ハーシュと W. サーストン、「葉状束、不変測度、平坦多様体」、数学年報、第 101 巻 (1975 年)、pp. 369–390
• J. Smillie、非ゼロのオイラー特性を持つ平坦多様体、Commentarii Mathematici Helvetici、第 52 巻 (1977 年)、453 ～ 456 ページ
• H. キムと H. リー、「射影平坦多様体の特定のクラスのオイラー特性」、トポロジーとその応用、第 40 巻 (1991)、pp. 195–201
• H. Kim と H. Lee、「射影平坦多様体と従属基本群のオイラー特性」、アメリカ数学会紀要、第 118 巻 (1993)、pp. 311–315
• E. Bloch、「任意の多面体の角度欠陥」、Beiträge zur Algebra und Geometrie、volume 39 (1998)、pp.379–393
• H. Kim、多面体ガウス・ボネ公式と射影平坦多様体、GARC プレプリント、ソウル国立大学
• S. Choi、「組み合わせ法を用いたアフィン平坦多様体に対するチャーン予想」、Geometriae Dedicata、第97巻（2003年）、pp. 81-92
• M. Bucher と T. Gelander、「双曲面の積に局所的に等長な多様体のミルノア・ウッド不等式」、Comptes Rendus Mathematique、第 346 巻、第 11 ～ 12 号 (2008 年)、661 ～ 666 ページ
• Cocos, Mihail (2015). 「アフィン多様体上の準計量接続と Chern の予想」. arXiv : 1504.04852v3 [math.DG].
• Feng, Huitao; Zhang, Weiping (2017). 「平坦ベクトル束と開被覆」. arXiv : 1603.07248v3 [math.DG].
• M. グロモフ、「無限群の漸近不変量」、幾何群論、第 2 巻 (1993)、8.A${\displaystyle _{4}}$