ケイリーの定理

群論という数学分野において、アーサー・ケイリーにちなんで名付けられたケイリーの定理は、すべての群Gは対称群の部分群と同型であると述べている。^{[ 1 ]} より具体的には、G は対称群の部分群と同型である。${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$その要素は、Gの基礎となる集合の順列である。具体的には、

• 各${\displaystyle g\in G}$gによる左乗算マップ${\displaystyle \ell _{g}\colon G\to G}$各要素x をgxに送ることはGの順列であり、
• 地図${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$各要素gを送信${\displaystyle \ell _{g}}$は単射準同型であるため、 Gから の部分群への同型を定義します。${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$。

準同型${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$また、これは基底集合Gに対するGの左並進作用から生じるものと理解することもできる。^{[ 2 ]}

Gが有限の場合、${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$も有限である。この場合のケイリーの定理の証明は、Gが位数nの有限群であれば、Gは標準対称群の部分群と同型であることを示している。${\displaystyle S_{n}}$しかし、G はより小さな対称群の部分群と同型である可能性もある。${\displaystyle S_{m}}$一部の人にとって${\displaystyle m<n}$例えば、6次のグループ${\displaystyle G=S_{3}}$は、 のサブグループと同型であるだけでなく、${\displaystyle S_{6}}$だが、（自明なことに） の部分群と同型である${\displaystyle S_{3}}$[ ^{3 ]}与えられた群G^が埋め込まれる 最小位数の対称群を見つける問題はかなり難しい。^{[ 4 ] [ 5 ]}

アルペリンとベルは、「一般に、有限群が対称群に埋め込まれているという事実は、有限群を研究するために使用される方法に影響を与えていない」と指摘している。^{[ 6 ]}

Gが無限大の場合、${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$は無限であるが、ケイリーの定理は依然として適用される。

ケイリー（1854年）が現在「群」と呼ばれる概念を導入した当時、現代的な定義は存在せず、それが当時「群」と呼ばれていたもの（現在では「置換群」と呼ばれているもの）と同等であるとはすぐには明らかではなかった。ケイリーの定理は、この2つを統一するものである。

^{バーンサイド[ 7 ]}は 定理をジョーダン^{[ 8 ]}に帰しているが、 エリック・ヌメラ^{[ 9 ]} はそれでもなお、標準的な名称である「ケイリーの定理」が実際には適切であると主張している。ケイリーの1854年の原著論文^{[ 10 ]} は、定理における対応が1対1であることを示したが、それが準同型（したがって埋め込み）であることを明示的に示したわけではない。しかし、ヌメラは、ケイリーが当時この結果を数学界に知らしめたため、ジョーダンより16年ほど前に発表したと指摘している。

この定理は後にウォルター・ディックによって1882年に発表され^{[ 11 ]}、バーンサイドの本の初版ではディックの著作とされている^{[ 12 ] 。}

集合Aの順列は、 AからAへの全単射関数である。A のすべての順列の集合は、関数合成に関して群を形成し、 A 上の対称群と呼ばれ、次のように表記される。${\displaystyle \operatorname {Sym} (A)}$^{[ 13 ]} 特に、A を群 G の基礎となる集合とすると、対称群が生成されます。${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$。

gが演算 ∗ を持つ群Gの任意の要素である場合、 f _g ( x ) = g ∗ xで定義される関数f _g  : G → Gを考えます。逆関数の存在により、この関数にも逆関数が存在します。${\displaystyle f_{g^{-1}}}$したがって、 gによる乗算は全単射関数として機能します。したがって、f _gはGの置換であり、Sym( G )の要素です。

集合K = { f _g  : g ∈ G }は Sym( G )の部分群であり、 Gと同型である。これを証明する最も簡単な方法は、 Gのすべてのgに対してT ( g ) = f _gとなる関数T  : G → Sym( G )を考えることである。Tは群準同型である。なぜなら (Sym( G ) における合成を表すために · を用いる)、次のようになるからである。

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),}$

Gのすべてのxに対して、したがって次のようになる。

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}$

準同型Tは単射である。なぜなら、T ( g ) = id _G (Sym( G )の単位元) は、 Gのすべてのxに対してg ∗ x = xを意味し、xをGの単位元eとすると、 g = g ∗ e = eとなり、つまり核は自明であるからである。あるいは、Tは単射でもある。なぜなら、 g ∗ x = g ′ ∗ xはg = g ′を意味するからである(すべての群は消去可能であるため)。

したがって、GはTの像、すなわち部分群Kと同型である。

TはGの正則表現 と呼ばれることもある。

群の単位元は単位置換に対応します。その他の群の要素はすべて置換に対応します。置換とは、どの要素も変化させない置換のことです。これは群の要素の位数よりも低いべき乗にも当てはまるため、各要素はすべて同じ長さのサイクルからなる置換に対応します。この長さは、その要素の位数です。各サイクル内の要素は、その要素によって生成される部分群の右剰余類を形成します。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$2 を法とする加算の場合、群要素 0 は恒等置換 e に対応し、群要素 1 は置換 (12) に対応します (サイクル表記を参照)。例: 0 + 1 = 1 および 1 + 1 = 0 なので、${\textstyle 1\mapsto 0}$そして${\textstyle 0\mapsto 1,}$順列の場合と同様である。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$3 を法とする加算の場合、群要素 0 は恒等置換 e に対応し、群要素 1 は置換 (123) に対応し、群要素 2 は置換 (132) に対応します。例: 1  +  1  =  2 は (123)(123)  =  (132) に対応します。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$4 を法とする加算。要素は e、(1234)、(13)(24)、(1432) に対応する。

クラインの4群{e, a, b, c}の要素は、e、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)に対応する。

S ₃ (位数 6 の二面体群) は 3 つのオブジェクトのすべての順列の群であると同時に、6 つの群要素の順列群でもあり、後者はその正則表現によって実現される。

定理：Gを群 とし、Hを部分群とする。${\displaystyle G/H}$GにおけるHの左剰余類の集合を N とする。GにおけるHの正規コアをNとし、これはGにおけるHの共役の共通部分として定義される。このとき、商群は${\displaystyle G/N}$は、 の部分群と同型である。${\displaystyle \operatorname {Sym} (G/H)}$。

特別なケース${\displaystyle H=1}$これはケイリーの元の定理です。

• ワグナー・プレストン定理は、逆半群における同様の定理である。
• ビルコフの表現定理、順序理論における同様の結果
• フルヒトの定理によれば、すべての有限群はグラフの自己同型群である。
• 米田の補題、圏論におけるケイリーの定理の一般化
• 表現定理

• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、『基礎代数学（第2 版）』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47189-1。