コーシーの定理（幾何学）

コーシーの定理は、オーギュスタン・コーシーにちなんで名付けられた幾何学の定理です。この定理は 、対応する面が合同な3次元凸多面体は互いに合同でなければならないと述べています。つまり、多面体の面を平面上に展開して作られる任意の多面体ネットと、どの面同士を接着するかを示す接着指示によって、元の多面体の形状が一意に決定されます。例えば、6つの正方形を立方体のパターンで接続すると、それらは必ず立方体を形成します。同じように接続された6つの正方形の面を持つ凸多面体で、同じ形状を持たないものは存在しません。

これは剛性理論における基本的な結果である。この定理の帰結の一つとして、凸多面体の各面を剛体板で構成し、多面体の辺に沿って柔軟なヒンジで連結して物理モデルを作成すると、これらの板とヒンジの集合体は必然的に剛体構造を形成するということが挙げられる。

PとQを組み合わせ論的に同値な3次元凸多面体とする。すなわち、これらは同型な面格子を持つ凸多面体である。さらに、 PとQの対応する面のペアは互いに合同である、すなわち剛体運動を除いて等しいと仮定する。このとき、PとQはそれ自体合同である。

凸性が必要であることを示すために、正二十面体を考えてみましょう。頂点を「押し込む」ことで、正二十面体と組み合わせ論的に等価な非凸多面体を作成できます。つまり、正二十面体の頂点で交わる5つの面（五角錐の側面を形成する）を取り出し、その底面に関してピラミッドを反転させることができます。

この結果はユークリッドの『原論』に由来し、立体は面についても同じことが成り立つ場合に等しいとされています。この結果のバージョンは、ラグランジュの以前の研究に基づいて、1813年にコーシーによって証明されました。コーシーの主補題の証明の誤りは、エルンスト・シュタイニッツ、イサーク・ヤコブ・シェーンベルク、アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフによって訂正されました。コーシーの訂正された証明は非常に短く優雅であるため、『THE BOOK』からの証明の1つとみなされています。^{[ 1 ]}

• この結果は平面上や非凸多面体では成り立たない。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:面の形状を維持する 1 つ以上の運動の自由度を持つ非凸の柔軟な多面体が存在する。特に、ブリカール八面体は、 1897 年にフランスの数学者ラウル・ブリカールによって発見された自己交差する柔軟な曲面である。2球面と同相な柔軟な非凸多面体であるコネリー球は、 1977 年にロバート・コネリーによって発見された。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}
• この定理は元々コーシーによって3次元で証明されたものだが、アレクサンドロフ（1950年）によって3次元よりも高次元に拡張された。
• コーシーの剛性定理は、凸多面体は、その面が剛性を保つように変形することはできないというコーシーの定理の系である。
• 1974年、ヘルマン・グルックは、ある厳密な意味では、ほとんどすべての単連結閉曲面が剛体であることを示した。^{[ 4 ]}
• デーンの剛性定理は、コーシーの剛性定理を微小剛性に拡張したものである。この結果は、 1916年にデーンによって得られた。
• 1950年のアレクサンドロフの定理は、凸多面体はその表面上の測地線の距離空間によって一意に記述されることを示すことで、コーシーの定理を一般化したものである。滑らかな曲面に対する同様の一意性定理は、1927年にコーン＝フォッセンによって証明された。ポゴレロフの一意性定理は、これら2つの結果を一般化し、一般的な凸曲面に適用したポゴレロフによる結果である。

• シェーンハルト多面体

• AL Cauchy、「Recherche sur les Polyèdres – premier memoire」、Journal de l'École Polytechnique 9 (1813)、66–86。
• Max Dehn、「Über die Starrheit konvexer Polyeder」（ドイツ語）、Math。アン。77 (1916)、466–473。
• アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフ著、『凸多面体』、GTI、モスクワ、1950年。 英語訳：シュプリンガー、ベルリン、2005年。
• James J. Stoker、「大きな多面体に関する幾何学的問題」、Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968)、119–168。
• Robert Connelly、「剛性」、Handbook of Convex Geometry、第A巻、223–271、North-Holland、アムステルダム、1993年。