キャンベルの定理（確率）

確率論と統計学において、キャンベルの定理またはキャンベル・ハーディの定理は、点過程にわたって合計された関数の期待値と、点過程の平均測度を含む積分とに関連する特定の方程式または結果の集合であり、これにより、ランダムな合計の期待値と分散を計算できます。定理の1つのバージョン^[1]は、キャンベルの公式^[2]としても知られており、²⁸一般的な点過程上の前述の合計の積分方程式を必要とし、必ずしもポアソン点過程ではありません。^{[2]キャンベルの公式のバージョンと見なされる}モーメント測度と階乗モーメント測度を含む方程式も存在します 。これらの結果はすべて、確率と統計で使用され、点過程理論^[3]と待ち行列理論^[4]、 および関連分野の確率幾何学^[1]、連続体浸透理論^[5]、および空間統計[ ^2]で特に重要です。^[6]

キャンベルの定理^{[7]と呼ばれるもう一つの結果は、}ポアソン点過程に特化したものであり、ポアソン点過程の モーメントとラプラス関数を計算する方法を与えている。

両定理の名称は、真空管におけるショットノイズとしても知られる熱電子雑音に関するノーマン・R・キャンベルの研究^{[8] [9]}に由来しており、^{[3] [10]この研究は、}アルファ粒子検出に関するアーネスト・ラザフォードとハンス・ガイガー の研究に部分的に触発されたもので、その研究ではハリー・ベイトマンによる微分方程式族の解としてポアソン点過程が生まれました。^[10] キャンベルの研究で、彼は実数直線上のポアソン過程のランダム和のモーメントと生成関数を提示していますが、主な数学的議論はGH ハーディによるものであり、その結果がキャンベル・ハーディの定理と呼ばれることもあると述べています。^{[10] [11]}

d次元ユークリッド空間上で定義された点過程に対して、^[a]キャンベルの定理は、 上でも定義され 上で合計された実数値関数の期待値を計算する方法を提供します。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],}$

ここで、 は期待値を表し、がランダム集合とみなされる集合表記法が使用されます (点過程表記法を参照)。点過程 の場合 、キャンベルの定理は上記の期待値と強度測度 を関連付けます。ボレル集合Bとの関係では、の強度測度は次のように定義されます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

ここで、測度表記法は、ランダム計数測度と見なされるように使用されます。この量は、集合Bにある点過程の点の平均数として解釈できます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Lambda (B)}$${\displaystyle N}$

キャンベルの定理の 1 つのバージョンは、強度測定を伴う一般的な (必ずしも単純ではない) 点プロセスに対するものです。 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

はキャンベルの公式^[2]またはキャンベルの定理^{[1] [12] [13]}として知られており、実数直線上の範囲を持つ測定可能な関数 の和の期待値を計算する方法を示しています。より具体的には、点過程と測定可能な関数の場合、点過程上の の合計は次の式で与えられます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

ここで、方程式の片側が有限であれば、もう片側も有限である。^{[14]この方程式は本質的には}フビニの定理^[1]の応用であり、単純かどうかにかかわらず、幅広いクラスの点過程に当てはまる。^[2]積分表記法によっては、^[b]この積分は次のようにも表記される。^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,}$

点過程の強度測度の密度が の場合、キャンベルの公式は次のようになります。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx}$

一定の密度を持つ定常点過程の場合、キャンベルの定理または公式は体積積分に簡約されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx}$

この式は、定常確率過程の一例である同次ポアソン点過程に対して自然に成立する。^[1]

一般点過程に関するキャンベルの定理は、点過程のすべての点について合計された点（点過程）の関数の期待値を計算する方法を提供します。点過程上のこれらのランダムな合計は、数学モデルとして使用される多くの分野で応用されています。

キャンベルはもともと、ショットノイズとしても知られる真空管の熱電子ノイズを理解することを動機として、ランダム和の問題を研究しました。その結果、点過程上の関数のランダム和の研究は、確率論、特に点過程理論におけるショットノイズとして知られています。

無線ネットワーク通信では、送信機が受信機に信号を送信しようとすると、ネットワーク内の他のすべての送信機が干渉とみなされ、情報理論に基づくデータ送信能力の点で、従来の有線通信ネットワークにおけるノイズと同様の問題が生じます。干渉する送信機の位置が何らかの点過程を形成すると仮定すると、ショットノイズを使用して干渉信号の合計をモデル化することができ、無線ネットワークの確率的幾何学モデルにつながりました。^[15]

ニューロンの全入力は、同様の時間経過を持つ多くのシナプス入力の合計である。入力が独立したポアソン点過程としてモデル化される場合、平均電流とその分散はキャンベル定理によって与えられる。一般的な拡張は、ランダムな振幅を持つ合計を考慮することである。

${\displaystyle S=\sum _{x\in {N}}a_{n}f(x)}$

この場合、 等しい${\displaystyle \kappa_{i}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa _{i}=\lambda {\overline {a^{i}}}\int f(x)^{i}dx}$

ここで分布の生のモーメントはである。^[16]${\displaystyle {\overline {a^{i}}}}$${\displaystyle a}$

一般的な点過程の場合、ランダム和の性質、特に点過程にわたって合計される関数に応じて、キャンベルの定理のより一般的なバージョンが存在します。

関数が点過程の複数の点の関数である場合、点過程のモーメント測定または階乗モーメント測定が必要です。これは、ランダム変数のモーメントおよび階乗と比較できます。必要な測定の種類は、ランダム合計内の点過程の点が別個である必要があるか、または繰り返される可能性があるかによって異なります。

モーメント測定は、ポイントの繰り返しが許容される場合に使用されます。

階乗モーメント測定は、ポイントが繰り返されることが許されず、したがってポイントが区別される場合に使用されます。

一般の点過程の場合、キャンベルの定理は点過程の単一点の関数の和にのみ適用されます。単一点の関数の和と点過程全体の和を計算するには、パーム理論またはパーム計算として知られる確率の分野に基づく点過程のパーム分布を使用して、一般化されたキャンベルの定理が必要です。

キャンベルの定理^[7]の別のバージョンでは、強度測度と測定可能な関数を持つポアソン点過程に対して、ランダム和 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$

${\displaystyle S=\sum _{x\in N}f(x)}$

が確率1で絶対収束する場合、積分

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .}$

この積分が有限であると仮定すると、定理はさらに、任意の複素数値に対して、方程式 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),}$

は、右辺の積分が収束する場合に成立し、これは純虚数 の場合に当てはまります。さらに、 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

そしてこの積分が収束するならば、

${\displaystyle \operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),}$

ここで、 はランダム和の分散を表します。 ${\displaystyle {\text{Var}}(S)}$${\displaystyle S}$

この定理から、ラプラス関数を含む ポアソン点過程のいくつかの期待値が導かれる。^{[7] [c]}

強度測度を持つポアソン点過程の場合、ラプラス関数はキャンベルの定理^[7]の上記のバージョンの結果であり、次のように与えられる: ^[15]${\displaystyle N}$${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},}$

同次ケースの場合、次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{ -sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.}$