ブラフマグプタの正体

代数学において、ブラフマグプタの恒等式は、 が与えられた場合、 の形式の 2 つの数の積は、それ自体がその形式の数であることを意味します。言い換えると、そのような数の集合は乗算に関して 閉じています。具体的には、${\displaystyle n}$${\displaystyle a^{2}+nb^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{aligned}}}$

(1)と(2)は、両辺を展開することで検証できる。また、 bを−bに変更することで、(1)から(2)を得ることも、(2)から(1)を得ることもできる。

この恒等式は整数環と有理数環の両方で成り立ち、より一般的には任意の可換環で成り立ちます。

この等式は、ディオファントスの『算術』 (III, 19)に実際に記載された、いわゆるフィボナッチ等式 (n =1) の一般化である。この等式はインドの数学者で天文学者のブラフマグプタ(598–668)によって再発見され、一般化されて現在ペルの等式と呼ばれるものの研究に使用された。ブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ』は、モハンマド・アル・ファザーリによってサンスクリット語からアラビア語に翻訳され、その後1126 年にラテン語に翻訳された。 ^[1]この等式は後に1225 年の『フィボナッチの平方数の書』に登場した。

元々の文脈では、ブラフマグプタは彼の発見を、後にペル方程式と呼ばれるようになったx ²  −  Ny ²  = 1 の解に適用しました。

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

彼は、 x ²  −  Ny ²  =  kの解である3つ組（ x ₁、  y ₁、  k ₁）と（x ₂、  y ₂、  k ₂ ）を「合成」して、新しい3つ組を生成すること ができた。

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

 これにより、1つの解から始めてx ²  −  Ny ² = 1の解を無限に生成できるようになっただけでなく、このような構成をk ₁ k _{2で割ることで、整数または「ほぼ整数」の解が得られることもよくありました。1150年に}バースカラ2世が示したペル方程式を解く一般的な方法、すなわちチャクラヴァラ（巡回）法も、この恒等式に基づいていました。^[2]

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