電力変換

統計学において、べき変換とは、べき関数を用いてデータの単調変換を行うために適用される関数群のことです。これは、分散を安定させ、データを正規分布に近づけ、関連性の尺度（変数間のピアソン相関係数など）の妥当性を向上させ、その他のデータ安定化手順に用いられるデータ変換手法です。

パワー変換は、マルチ解像度およびウェーブレット解析^{[ 1 ]}、統計データ解析、医学研究、物理プロセスのモデリング^{[ 2 ]} 、地球化学データ解析^{[ 3 ]} 、疫学^{[ 4 ]}、その他多くの臨床、環境、社会研究分野を含む複数の分野で使用されています。

べき変換は、べきパラメータλの連続関数として定義され、通常は特異点 ( λ  =  0)で連続となるように区分的に与えられます。各y _i > 0 であるデータベクトル ( y ₁ ,..., y _n )の場合、べき変換は次のようになります。   

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}{\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y))^{\lambda -1}}},&{\text{if }}\lambda \neq 0\\[12pt]\operatorname {GM} (y)\ln {y_{i}},&{\text{if }}\lambda =0\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {GM} (y)=\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{y_{1}y_{2}\cdots y_{n}}}\,}$

は、観測値y ₁、...、y _nの幾何平均です。  ${\displaystyle \lambda =0}$限界は${\displaystyle \lambda }$0に近づく。これを確認するには、次の点に注目してください。${\displaystyle y_{i}^{\lambda }=\exp({\lambda \ln(y_{i})})=1+\lambda \ln(y_{i})+O((\lambda \ln(y_{i}))^{2})}$-テイラー級数を使用します。${\displaystyle {\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}=\ln(y_{i})+O(\lambda )}$、そしてそれ以外すべて${\displaystyle \ln(y_{i})}$無視できるほどになる${\displaystyle \lambda }$十分に小さい。

分母に幾何平均の( λ  − 1) 乗を含めることで、を含むあらゆる方程式の科学的解釈が簡素化されます。 $\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$なぜなら、 λが変化しても測定単位は変化しないからである。

BoxとCox （1964）は、まず再スケーリングされたべき変換のヤコビアンを含めることによって、幾何平均をこの変換に導入した。

$\displaystyle {\frac {y^{\lambda }-1}{\lambda }}.}$

尤度に基づいて、このヤコビアンは次のようになります。

${\displaystyle J(\lambda ;y_{1},\ldots ,y_{n})=\prod _{i=1}^{n}|dy_{i}^{(\lambda )}/dy|=\prod _{i=1}^{n}y_{i}^{\lambda -1}=\operatorname {GM} (y)^{n(\lambda -1)}}$

これにより、通常の対数尤度が最大となる場合、次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log({\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}))&=(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma }}^{2})+1)+n(\lambda -1)\log(\operatorname {GM} (y))\\[5pt]&=(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}/\operatorname {GM} (y)^{2(\lambda -1)})+1).\end{aligned}}}$

ここから吸収して$\displaystyle \operatorname {GM} (y)^{2(\lambda -1)}}$表現に${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$残差の二乗和を最小化する式を生成する$\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$これは、からの偏差の正規対数尤度の合計を最大化することと同等である。${\displaystyle (y^{\lambda }-1)/\lambda }$そして、変換のヤコビアン行列の対数。

λが任意の値の場合、 Y = 1における値は0であり、その値におけるYに関する導関数はλが任意の値の場合1である。Yは、何らかの平均値でY = 1となるようにスケーリングされた、他の変数のバージョンである場合もある。

この変換はべき変換の一種ですが、 λ = 0においてパラメータλと連続になるように行われます。計量経済学を含む回帰分析において広く用いられています。

ボックスとコックスは、シフトパラメータを組み込んだ、より一般的な変換形式も提案した。

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\alpha )^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,​​\end{cases}}}$

これは、すべてのiに対してy _i  +  α > 0が成り立つ場合に成立します。τ( Y , λ, α)が切断正規分布に従う場合、Y はBox–Cox 分布に従うと言われます。 

BickelとDoksumは、変換の範囲をすべてのyに拡張することで、切り捨て分布を使用する必要性を排除しました。その方法は以下のとおりです。

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {\operatorname {sgn} (y_{i}+\alpha )|y_{i}+\alpha |^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\operatorname {sgn} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,​​\end{cases}}}$

ここで、sgn(.)は符号関数です。この定義の変更は、以下の限り実際的な意味はほとんどありません。${\displaystyle \alpha }$より小さい${\displaystyle \operatorname {min} (y_{i})}$通常はそうである。^{[ 5 ]}

BickelとDoksumは、適切な正則条件の下ではパラメータ推定値が一致性があり漸近的に正規であることを証明したが、パラメータ値がノイズ分散に比べて小さい場合、標準的なCramér–Rao下限は分散を大幅に過小評価する可能性がある。^{[ 5 ]}しかし、この分散の過小評価の問題は、多くのアプリケーションでは実質的な問題ではないかもしれない。^{[ 6 ] [ 7 ]}

1パラメータのBox–Cox変換は次のように定義される。

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}{\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\ln y_{i}&{\text{if }}\lambda =0,​​\end{cases}}}$

そして2パラメータBox–Cox変換は

${\displaystyle y_{i}^{({\boldsymbol {\lambda }})}={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\lambda _{2})^{\lambda _{1}}-1}{\lambda _{1}}}&{\text{if }}\lambda _{1}\neq 0,\\\ln(y_{i}+\lambda _{2})&{\text{if }}\lambda _{1}=0,\end{cases}}}$

原著論文に記載されているとおりである。^{[ 8 ] [ 9 ]} さらに、最初の変換は以下に対して成り立つ。${\displaystyle y_{i}>0}$2番目は${\displaystyle y_{i}>-\lambda _{2}}$[ ^{8 ]​}

パラメータ${\displaystyle \lambda }$プロファイル尤度関数と適合度検定を用いて推定される。 ^{[ 10 ]}

Yeo–Johnson変換^{[ 15 ]} は、ゼロおよび負の値も許容する。${\displaystyle y}$。 ${\displaystyle \lambda }$は任意の実数で、${\displaystyle \lambda =1}$恒等変換を生成する。変換法則は次のようになる。

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}((y_{i}+1)^{\lambda }-1)/\lambda &{\text{if }}\lambda \neq 0,y\geq 0\\[4pt]\ln(y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =0,y\geq 0\\[4pt]-((-y_{i}+1)^{(2-\lambda )}-1)/(2-\lambda )&{\text{if }}\lambda \neq 2,y<0\\[4pt]-\ln(-y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =2,y<0\end{cases}}}$

ボックス・ティドウェル変換は、一般化線形モデル、特にロジスティック回帰において、予測変数とロジット間の非線形性を評価し、補正するために用いられる統計的手法です。この変換は、独立変数と結果変数の関係が非線形であり、標準モデルでは適切に捉えられない場合に有効です。

電力変換は、さまざまな科学的および応用的な文脈において、異なる名称で現れる。

• Box-Cox変換については、上記で説明したとおりです。

• アルファ公平性– フランク・ケリーとその共同研究者によって、ネットワーク効用最大化の研究において、α公平効用関数ファミリーとして導入された。^{[ 16 ] [ 17 ]}

• ツァリスエントロピーは、非広範統計力学で提案されたシャノンエントロピーの一般化であり

• Q指数族– 標準指数族の一般化であり、指数関数をツァリス統計から導出されたq指数形式に置き換える。^{[ 18 ]}

• Box, George EP ; Cox, DR (1964). 「変換の分析」. Journal of the Royal Statistical Society, Series B . 26 (2): 211– 252. JSTOR 2984418 . MR 0192611 .  
• Carroll, RJ; Ruppert, D. (1981). 「予測とべき変換ファミリーについて」(PDF) . Biometrika . 68 (3): 609– 615. doi : 10.1093/biomet/68.3.609 .
• DeGroot, MH (1987). "ジョージ・ボックスとの対話" (PDF) . Statistical Science . 2 (3): 239– 258. doi : 10.1214/ss/1177013223 .
• Handelsman, DJ (2002). 「精子濃度およびその他の精液変数の分析のための最適なべき変換」. Journal of Andrology . 23 (5).
• Gluzman, S.; Yukalov, VI (2006). "外挿問題における自己相似べき変換". Journal of Mathematical Chemistry . 39 (1): 47–56 . arXiv : cond-mat/0606104 . Bibcode : 2006cond.mat..6104G . doi : 10.1007/s10910-005-9003-7 . S2CID 118965098 . 
• Howarth, RJ; Earle, SAM (1979). 「地球化学データへの一般化べき変換の適用」. Journal of the International Association for Mathematical Geology . 11 (1): 45–62 . doi : 10.1007/BF01043245 . S2CID 121582755 . 
• Box, GEP および Tidwell, PW (1962) 独立変数の変換。Technometrics、4、531-550。https ://doi.org/10.1080/00401706.1962.10490038 (別名 Box-Tidwell 変換)

• 西井良（2001）[1994] 「ボックス・コックス変換」、数学百科事典、EMS Press（リンクを修正しました）
• サンフォード・ワイスバーグ、ヨー・ジョンソン電力変革