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微分幾何学の数学の分野において、曲面理論の基本定理は、ユークリッド空間の部分多様体の幾何学的データを規定する問題を扱っています。この定理は 1867 年にピエール・オシアン・ボネによって最初に証明され、その後、より高次元や非ユークリッドのコンテキストに拡張されました。
ボネの定理
3次元ユークリッド空間の任意の面は、第一基本形式と第二基本形式を持ち、それらはガウス・コダッツィ方程式によって自動的に相互に関連付けられます。ボネの定理は、この結果の局所的な逆を主張しています。[1]
R 2の開領域Dが与えられたとき、gとh をD上の対称 2 次元テンソルとし、g は正定値であることも要求されます。これらが滑らかで、ガウス-コダッツィ方程式を満たす場合、ボネの定理によれば、D は、第 1 基本形式gと第 2 基本形式 (単位法線ベクトル場の 2 つの選択肢のうちの 1 つに対して) hでR 3に滑らかに埋め込むことができる開集合で覆われます。さらに、これらの埋め込みはそれぞれ、 R 3の剛体運動を除いて一意に決定されます。
ボネの定理はフロベニウスの定理の系であり、ガウス-コダッツィ方程式を、埋め込みの位置ベクトルの2つの座標導関数と法線ベクトルに関する1階偏微分方程式のシステムとして見た場合の定理である。 [2]
一般的な処方
ボネの定理は、任意の次元のユークリッド空間の超曲面に対して自然に定式化することができ、結果はこの文脈で正しいままである。さらに、定理はボネの局所定式化から大域定式化に拡張することができ、D は任意の連結かつ単純連結な 滑らかな多様体とすることができ、その結果、第一基本形式gと第二基本形式hを持つユークリッド空間の超曲面としてのDの滑らかな浸漬の存在と一意性 (剛体運動を除く) を主張する。証明の考え方は、局所定式化からの存在理論を使用して、単一の点から発する任意の曲線に沿った浸漬を構築することである。単純連結性は、共通の端点を持つ任意の 2 つの曲線がホモトピック(端点を固定する経路を通じて) であることを示すために使用され、局所定式化からの一意性は、端点での浸漬の値がホモトピーを通じて固定されなければならないことを意味し、その結果、多様体全体で明確に定義された浸漬が得られる。[3]
この大域的定式化では、単純連結性の条件が取り除かれると、一般に存在は成立しなくなる。これは、第1基本形式が平坦で第2基本形式がゼロであるトーラスの超曲面浸漬が存在しないことからわかる。[4]
この定理は、超曲面の文脈を超えて、任意の余次元の部分多様体の理論に拡張することもできる。これは、第 1 および第 2 の基本形式に加えて、通常バンドル内の接続 (一般には自明ではない)も考慮する必要があるため、定式化がより複雑になる。この一般性では、曲面理論の基本定理は曲線の基本定理を包含する。[5]
この一般的な文脈では、周囲ユークリッド空間は、一定の曲率を持つ任意の連結かつ測地線的に完全な リーマン多様体に置き換えることもできるが、これには（より特殊な高次元の場合と同様に）ガウス-コダッツィ方程式の適切に拡張された定式化が必要である。[5]
参考文献
- ^ do Carmo 2016、セクション4-3; Struik 1961、セクション3-6。
- ^ do Carmo 2016、第4章付録; Spivak 1999a、pp. 56–59。
- ^ 小林＆野水 1969、セクション VII.7。
- ^ スピヴァック1999a、61ページ。
- ^ ab Spivak 1999b、セクション 7C。
文献
- ボンネット、O. (1867)。 「表面理論に適用可能な表面の記憶」。エコールポリテクニックジャーナル。42：72～92。
- ド・カルモ、マンフレド・P. (2016)。曲線と曲面の微分幾何学（1976年初版の改訂・更新第2版）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版、 ISBN 978-0-486-80699-0MR 3837152。Zbl 1352.53002 。
- 小林昭七、野水勝美（1969）。微分幾何学の基礎。第2巻。純粋および応用数学のインターサイエンス論文集。第15巻。ニューヨーク・ロンドン：John Wiley & Sons、 Inc。ISBN 0-471-15732-5. MR 0238225. Zbl 0175.48504.
- スピヴァック、マイケル(1999a)。微分幾何学の包括的な入門。第 3 巻(1975 年の初版の第 3 版)。デラウェア州ウィルミントン: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-72-1. MR 0532832. Zbl 1213.53001.
- スピヴァック、マイケル(1999b)。微分幾何学の包括的な入門。第 4 巻(1975 年の初版の第 3 版)。Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-73-X. MR 0532833. Zbl 1213.53001.
- ストルイク、ダーク J. (1961)。古典微分幾何学講義(1950 年初版第 2 版)。ロンドン: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8. MR 0939369. Zbl 0105.14707.