フォン反射モデル

フォン反射モデル(フォン照明またはフォン照明とも呼ばれる)は、コンピュータ グラフィックス研究者のBui Tuong Phongによって設計された、表面上の点の局所照明の実験モデルです。3Dコンピュータ グラフィックスでは、特にモデルが同じ名前の補間方法で使用される場合や、ピクセル シェーダーのコンテキスト、または照明計算が「シェーディング」と呼ばれるその他の場所では、「フォン シェーディング」と呼ばれることがあります。

フォン反射モデルは、ユタ大学のブイ・トゥオン・フォンによって開発され、1975年の博士論文で発表されました。^{[1] [2]}これは、ポリゴン表面モデルからラスタライズされる個々のピクセルの計算を補間する方法と併せて発表されました。補間手法は、フォン以外の反射モデルで使用される場合でも、フォンシェーディングと呼ばれます。フォンの方法は、導入された時点では過激であると考えられていましたが、その後、多くのレンダリングアプリケーションの事実上の基本シェーディング方法になりました。フォンの方法は、レンダリングされたピクセルあたりの計算時間を一般的に効率的に使用することで人気を博しました。

フォン反射は、局所照明の経験的モデルです。表面が光を反射する方法を、粗い表面の拡散反射と光沢のある表面の鏡面反射の組み合わせとして説明します。これは、光沢のある表面には小さくて強い鏡面反射ハイライトがあり、鈍い表面には徐々に減衰する大きなハイライトがあるというフォンの非公式の観察に基づいています。モデルには、シーン全体に散らばる少量の光を考慮するための アンビエント項も含まれています。

シーン内の各光源について、コンポーネントと は、それぞれ光源の鏡面反射コンポーネントと拡散コンポーネントの強度 (多くの場合、RGB値) として定義されます。 1 つの項で周囲の照明を制御します。この項は、すべての光源からの寄与の合計として計算されることもあります。 ${\displaystyle i_{\text{s}}}$${\displaystyle i_{\text{d}}}$${\displaystyle i_{\text{a}}}$

シーン内の 各マテリアルに対して、次のパラメータが定義されます。

${\displaystyle k_{\text{s}}}$は鏡面反射定数であり、入射光の鏡面反射率である。

${\displaystyle k_{\text{d}}}$拡散反射定数、入射光の拡散項の反射率（ランバート反射率）、

${\displaystyle k_{\text{a}}}$は、周囲反射定数であり、レンダリングされたシーン内のすべての点に存在する周囲項の反射の比率であり、

${\displaystyle \alpha}$これはこのマテリアルの光沢定数であり、表面がより滑らかで鏡のようであればこの値は大きくなります。この定数が大きい場合、鏡面ハイライトは小さくなります。

さらに、

${\displaystyle {\text{ライト}}}$、これはすべての光源の集合であり、

${\displaystyle {\hat {L}}_{m}}$は、表面上の点から各光源（光源を指定する）に向かう方向ベクトルである。${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\hat {N}}}$、これは表面上のこの点における法線である。

${\displaystyle {\hat {R}}_{m}}$これは、表面上のこの点から完全に反射された光線が進む方向であり、

${\displaystyle {\hat {V}}}$これは、視聴者（仮想カメラなど）を指す方向です。

次に、フォン反射モデルは、各表面点の照明を計算するための方程式を提供します。 ${\displaystyle I_{\text{p}}}$

${\displaystyle I_{\text{p}}=k_{\text{a}}i_{\text{a}}+\sum _{m\;\in \;{\text{lights}}}(k_{\text{d}}({\hat {L}}_{m}\cdot {\hat {N}})i_{m,{\text{d}}}+k_{\text{s}}({\hat {R}}_{m}\cdot {\hat {V}})^{\alpha }i_{m,{\text{s}}}).}$

ここで方向ベクトルは、表面法線によって特徴付けられる表面上の反射として計算されます。 ${\displaystyle {\hat {R}}_{m}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{m}}$${\displaystyle {\hat {N}}}$

${\displaystyle {\hat {R}}_{m}=2({\hat {L}}_{m}\cdot {\hat {N}}){\hat {N}}-{\hat {L}}_{m}}$

帽子はベクトルが正規化されていることを示します。拡散項は、観察者の方向 ( ) の影響を受けません。鏡面項は、観察者の方向 ( ) が反射方向 と揃っている場合にのみ大きくなります。それらの揃っているかどうかは、それらの間の角度の余弦の累乗で測定されます。正規化されたベクトルと間の角度の余弦は、それらのドット積 に等しくなります。が大きい場合、ほぼ鏡のような反射の場合、鏡面反射ハイライトは小さくなります。これは、反射と一致していない視点の余弦は 1 未満になり、これを高累乗すると急速に 0 に近づくためです。 ${\displaystyle {\hat {V}}}$${\displaystyle {\hat {V}}}$${\displaystyle {\hat {R}}_{m}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\hat {R}}_{m}}$${\displaystyle {\hat {V}}}$${\displaystyle \alpha}$

上記の定式化は Phong 反射モデルを表現する一般的な方法ですが、各項は項のドット積が正の場合にのみ含める必要があります。(さらに、鏡面反射項は拡散項のドット積が正の場合にのみ含める必要があります。)

コンピュータグラフィックスではよくあることですが、色がRGB値として表される場合、この方程式は通常、R、G、B の強度ごとに個別にモデル化され、異なる反射定数と異なる色チャネルが許可されます。 ${\displaystyle k_{\text{a}},}$ ${\displaystyle k_{\text{d}}}$${\displaystyle k_{\text{s}}}$

Phong 反射モデルを実装する場合、正確な式を実装するのではなく、モデルを近似して計算を高速化する方法がいくつかあります。たとえば、Blinn-Phong 反射モデルはPhong 反射モデルの修正版であり、視聴者と光源が無限遠にあるとみなすとより効率的になります。

鏡面反射項の指数計算を扱う別の近似法^[3]は次の通りである。鏡面反射項はそのドット積が正の場合にのみ考慮されるべきであることを考慮すると、次のように近似できる。

${\displaystyle \max(0,{\hat {R}}_{m}\cdot {\hat {V}})^{\alpha }=\max(0,1-\lambda )^{\beta \gamma }=\left(\max(0,1-\lambda )^{\beta }\right)^{\gamma }\approx \max(0,1-\beta \lambda )^{\gamma }}$

ここで、 は実数で、整数である必要はありません。が2の累乗、つまり が整数である場合、この式は を2乗することでより効率的に計算できます。つまり、 ${\displaystyle \lambda =1-{\hat {R}}_{m}\cdot {\hat {V}}}$${\displaystyle \beta =\alpha /\gamma \,}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma =2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (1-\beta \lambda )^{\gamma }}$${\displaystyle (1-\beta \lambda )\ n}$

${\displaystyle (1-\beta \lambda )^{\gamma }\,=\,(1-\beta \lambda )^{2^{n}}\,=\,(1-\beta \lambda ) ^{\overbrace {\scriptstyle 2\,\cdot \,2\,\cdot \,\dots \,\cdot \,2} ^{n}}\,=\,(\dots ((1-\beta \lambda )\overbrace {^{2})^{2}\dots )^{2}} ^{n}.}$

この鏡面反射項の近似は、十分に大きな整数（通常は 4 または 8 で十分）に対して成立します。 ${\displaystyle \gamma}$

さらに、値は、または として近似できます。後者は、フォンのドット積ベースの よりもおよびにおける正規化誤差の影響を受けにくく^{[引用が必要]}、非常に解像度の低い三角形メッシュを除いて、 およびを正規化する必要はほとんどありません^{[引用が必要]}。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda =({\hat {R}}_{m}-{\hat {V}})\cdot ({\hat {R}}_{m}-{\hat {V}})/2}$${\displaystyle \lambda =({\hat {R}}_{m}\times {\hat {V}})\cdot ({\hat {R}}_{m}\times {\hat {V}})/2.}$${\displaystyle {\hat {R}}_{m}}$${\displaystyle {\hat {V}}}$${\displaystyle \lambda =1-{\hat {R}}_{m}\cdot {\hat {V}}}$${\displaystyle {\hat {R}}_{m}}$${\displaystyle {\hat {V}}}$

この方法では、変数の累乗をいくつかの乗算に置き換え、正確な逆平方根ベースのベクトル正規化の必要性を排除します。

フォン反射モデルとフォン シェーディングを組み合わせると、現実世界のオブジェクトのシェーディングを近似できます。つまり、フォン方程式は、写真に写っているシェーディングと目に見えるオブジェクトの表面法線を関連付けることができます。逆は、自然またはコンピューターで作成されたレンダリングされたイメージに基づいて表面法線を推定することを意味します。

Phong 反射モデルには、物体内部で変化する可能性のある表面拡散反射パラメータ (アルベド)など、多くのパラメータが含まれています。したがって、写真内の物体の法線は、ライトの数、ライトの方向、反射パラメータなどの追加情報を導入することによってのみ決定できます。

たとえば、指などの円筒形の物体があり、物体上の線の法線を計算したいとします。ここでは、光源が 1 つだけ、鏡面反射がない、既知の (近似された) 反射パラメータが均一であると仮定します。すると、Phong 方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle N=[N_{x},N_{z}]}$

${\displaystyle I_{p}(x)=C_{a}+C_{d}(L(x)\cdot N(x))}$

定数は周囲光に等しく、定数は拡散反射に等しいため、式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle C_{a}}$${\displaystyle C_{d}}$

${\displaystyle (I_{p}(x)-C_{a})/C_{d}=L(x)\cdot N(x)}$

これを円筒形の物体を通る線に書き直すと次のようになります。

${\displaystyle (I_{p}-C_{a})/C_{d}=L_{x}N_{x}+L_{z}N_{z}}}$

たとえば、光の方向が物体の上 45 度にある場合、2 つの未知数を持つ 2 つの方程式が得られます。 ${\displaystyle L=[0.71,0.71]}$

${\displaystyle (I_{p}-C_{a})/C_{d}=0.71N_{x}+0.71N_{z}}}$

${\displaystyle 1={\sqrt {(N_{x}^{2}+N_{z}^{2})}}}$

方程式には 2 の累乗が含まれているため、法線方向には 2 つの解が考えられます。したがって、正しい法線方向を定義するには、ジオメトリに関する事前情報が必要です。法線は、オブジェクト表面上の線の傾斜角に直接関係しています。したがって、連続面を想定すると、法線を使用して線積分を使用してオブジェクト上の線の相対的な表面高さを計算できます。

物体が円筒形でない場合、未知の法線値が3つあります。その場合、2つの方程式では法線がビューベクトルの周りを回転することを許容するため、事前の幾何学的情報から追加の制約が必要になります。たとえば顔認識では、顔の深度マップのデータベースに対して主成分分析(PCA)を使用してこれらの幾何学的制約を取得できます。これにより、通常の集団に見られる表面法線ソリューションのみが許可されます。^[4]${\displaystyle N=[N_{x},N_{y},N_{z}]}$

フォン反射モデルは、3Dコンピュータグラフィックスソフトウェアで表面をシェーディングするためにフォンシェーディングと組み合わせて使用​​されることが多い。これ以外にも、他の目的にも使用されることがある。例えば、パイオニア異常を説明するために、パイオニア探査機からの熱放射の反射をモデル化するために使用された。^[5]

• 双方向反射率分布関数 – 不透明な表面で光がどのように反射されるかを定義する 4 つの実変数の関数
• Blinn-Phong シェーディング モデル – コンピュータ グラフィックスにおけるシェーディング アルゴリズムリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 一般的なシェーディングアルゴリズムのリスト
• ガンマ補正 - 画像輝度マッピング機能
• フォンシェーディング – 表面シェーディングの補間技術
• 鏡面ハイライト – 照明を当てると光沢のある物体に現れる明るい光の点

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