バースカラ1世の正弦近似式

数学 において、バースカラ1世の正弦近似公式は、7世紀インドの数学者バースカラ1世（600年頃-680年頃）が発見した三角関数の正弦の近似値を計算するための、1変数の有理式である。^[1] この公式は、彼の論文「マハーバーシュカリヤ」に記載されている。バースカラ1世がどのようにして近似公式にたどり着いたかは不明である。しかし、数学の歴史家数名が、バースカラが公式にたどり着くために使用した可能性のある方法について、さまざまな仮説を提唱している。この公式は簡潔かつ洗練されており、幾何学を使わずに三角関数の正弦のかなり正確な値を計算することができる。^[2]

この文言はバースカラ第1巻第7章マハーバーシュカリヤの第17～19節に記されています。その翻訳は以下の通りです。^[3]

(ここで) Rsine 差 225 などを使わずに、 ( bhujaphalaやkotiphalaなどを求めるための) 規則を簡単に述べます。半円の度数 (つまり 180 度) からbhuja (またはkoti ) の度数を引きます。次に、その余りにbhujaまたはkotiの度数を掛けて、結果を 2 か所に記入します。1 か所で、その結果を 40500 から引きます。その余りの 4 分の 1 (このようにして得られた) で、もう 1 か所の結果をanthyaphala (つまり、周転円半径) を掛けた値で割ります。こうして、太陽、月、または恒星惑星のbahuphala (またはkotiphala ) 全体が得られます。同様に、正弦波と逆 Rsine も得られます。

(「Rsine-differences 225」という参照は、Aryabhata の正弦表を暗示しています。)

現代の数学的記法では、角度xを度で表すと、この式は^{[3]となる。}

${\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}.}$

バースカラ1世の正弦近似式は、角度のラジアン測定を使用して次のように表すことができます。^[1]

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}$

正の整数nの場合、これは次の形式になります。^[4]

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.}$

この式は、正弦ではなく余弦で表すとさらに単純な形になります。 から までの角度をラジアンで表し、と置くと、 ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi +y}$

${\displaystyle \cos y\estimate {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.}$

前の式を定数で表すには、 ${\displaystyle \tau =2\pi ,}$

${\displaystyle \cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}.}$

バースカラ1世の公式と同等の形式は、その後のインドのほぼすべての天文学者や数学者によって提示されている。例えば、ブラフマグプタ（紀元598年 - 668年） の 『ブラフマ・スプタ・シッダーンタ』（第14章、第23節 - 24節）^[3]では、次の形式で公式が示されている。

${\displaystyle R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}.}$

また、バースカラ 2 世(西暦1114 ～ 1185 年) は、 『リラヴァティ』 (『クシェトラ・ヴィャヴァハラ』『創価』第 48 号) の中で、次のような形式で この公式を与えています。

${\displaystyle 2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}={\frac {5760Rx-32Rx^{2}}{162000-720x+4x^{2}}}}$

この式は、0°から180°の範囲の x °の値に適用できます。この範囲では、この式は驚くほど正確です。sin xのグラフと近似式のグラフは、視覚的に区別がつかず、ほぼ同じです。添付の​​図の1つは、誤差関数のグラフを示しています。つまり、関数

${\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}$

この式を使用すると、最大絶対誤差は約 0.0016 であることがわかります。絶対誤差のパーセンテージ値のプロットから、最大相対誤差は 1.8% 未満であることがわかります。したがって、この近似式は、ほとんどの実用的な目的に対して十分に正確な正弦の値を提供します。ただし、天文学のより正確な計算要件を満たすには不十分でした。インドの天文学者によるより正確な式の探求は、最終的に、ケララ天文学と数学の学派の創始者であるサンガマグラマのマドハヴァ(c. 1350 – c. 1425)によるsin xと cos  xのべき級数展開 の発見につながりました。

バースカラは、この公式に至った方法を一切示していない。歴史家たちは様々な可能性について推測してきた。決定的な答えはまだ得られていない。この公式は、古代インドの天文学者たちの数学的業績の代表例として歴史的に重要であるだけでなく、現代の観点からも意義深い。数学者たちは現代の概念とツールを使ってこの法則を導出しようと試みた。それぞれが別々の前提に基づいた6つほどの方法が提案されている。^{[2] [3]}これらの導出のほとんどは、基本的な概念のみを使用している。

円の円周を度で測り、円の半径Rも度で測るとします。固定直径ABと円上の任意の点P を選択し、垂線PM をABに落とすと、三角形APBの面積を 2 つの方法で計算できます。面積の 2 つの式を等しくすると、 (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BPとなります。

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}.}$

弧APの長さをxとすると、弧BPの長さは180 − xです。これらの弧はそれぞれの弦よりもずっと大きいです。したがって、

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}.}$

ここで、2つの定数αとβを求めると、

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta .}$

実際には、そのような定数を得ることは不可能です。しかし、αとβの値を選択して、上記の式が円弧の長さxの2つの選択された値に対して有効になるようにすることができます。これらの値として30°と90°を選択し、結果として得られる方程式を解くと、すぐにバースカラ1世の正弦近似式が得られます。^{[2] [3]}

xがラジアン単位であると仮定すると、次の形式で sin xの近似値を求めることができます 。

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}.}$

定数a、b、c、p、q、r（独立しているのは5つだけ）は、x = 0、π/6、π/2、πのときに式が正確に有効であり、さらにsin( x ) = sin(π −  x )という性質を満たす必要があると仮定することで決定できます。 ^{[2] [3]この手順により、角度の}ラジアン測定を使用して表される式が生成されます。

sin xのグラフの 0° から 180° の範囲の部分は 、点 (0, 0) と点 (180, 0) を通る放物線の一部のように見えます。このような放物線の一般的な形は、

${\displaystyle kx(180-x).}$

（90, 1）（sin（90°）= 1に対応する点）を通る放物線は、

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.}$

（30, 1/2）（sin（30°）= 1/2の値に対応する点）を通過する放物線は、

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.}$

これらの式は、 x = 90のときに 90 × 90 の値をとり、 x = 30のときに2 × 30 × 150 の値をとる可変分母を示唆している。この式は直線x = 90 に関して対称でなければならないため、x で線形表現を選択する可能性は排除される 。 x (180 −  x )を含む計算では、式が次の形式になる可能性があることがすぐに示唆されるかもしれない 。

${\displaystyle 8100a+bx(180-x).}$

少し実験してみると（またはaとbの2つの線形方程式を立てて解くと）、 a  = 5/4、b = −1/4という値が得られます 。これらはバースカラ1世の正弦近似式を与えます。^[4]

カレル・ストロエトフ（2014）は、バースカラ1世の選択について、同様だがより単純な議論を展開している。彼はまた、コサインの類似した近似値を提示し、その手法を2次および3次多項式に拡張している。^[5]

• アーリヤバータの正弦表
• マダヴァの正弦表
• ブラフマグプタの補間式

1. RC.Gupta, Bhāskara Iの正弦公式の導出について、Ganita Bharati 8 (1-4) (1986)、39–41。
2. T. Hayashi, Bhāskara I の正弦波への有理近似に関するノート、Historia Sci. No. 42 (1991), 45–48 ページ。
3. K. Stroethoff、「正弦のBhāskara近似」、The Mathematics Enthusiast、Vol. 11、No. 3 (2014)、485–492。