ベーテ・サルペーター方程式

ベーテ・サルペーター方程式（BSE、ハンス・ベーテとエドウィン・サルペーターにちなんで名付けられた）^[1]は積分方程式であり、その解は共変形式量子場理論（QFT）における相対論的2体（粒子）束縛状態の構造を記述する。この方程式は1950年に南部陽一郎の論文の末尾で初めて発表されたが、導出は行われていなかった。^[2]

理論物理学の多くの分野で一般的に応用されているため、ベーテ・サルペーター方程式はさまざまな形で現れます。高エネルギー物理学でよく使われる形式の一つは

${\displaystyle \Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})}$

ここで、はベテ・サルペーター振幅 (BSA)、相互作用を表すグリーン関数、および2 つの構成粒子の ドレスドプロパゲーターです。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

量子論では、束縛状態は、その構造を破壊する相互作用の時間スケールよりも大幅に長い寿命を持つ複合物理システムです(そうでない場合、検討中の物理システムは共鳴と呼ばれます)。そのため、構成要素が相互作用するのに十分な時間があります。2 つの構成要素間で発生する可能性のあるすべての相互作用を考慮することにより、BSE は深束縛状態の特性を計算するツールになります。BSA はそのソリューションとして、検討中の束縛状態の構造をエンコードします。

この方程式は、構成粒子を含む4点関数のS行列の極を持つ束縛状態を同一視することで導出できるため、グリーン関数を適用した散乱過程の量子場記述に関連しています。

汎用ツールとしてのBSEの応用は、ほとんどの量子場理論で見出すことができます。例としては、ポジトロニウム（電子-陽電子対の束縛状態）、励起子（電子-正孔対の束縛状態^[3]）、中間子（クォーク-反クォークの束縛状態） ^[4]などがあります。

ポジトロニウムのような単純なシステムであっても、その正確な定式化にもかかわらず、量子電磁力学(QED) の下では方程式を正確に解くことはできません。方程式の簡約は、正確な解がなくても達成できます。粒子対生成を無視できる場合、2 つのフェルミオン構成要素の 1 つがもう 1 つよりも大幅に質量が大きい場合、システムは、重い粒子の外部ポテンシャルの下での軽い粒子のディラック方程式に簡略化されます。

ベーテ・サルペーター方程式の導出の出発点は、2粒子（または4点）ダイソン方程式である。

${\displaystyle G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G}$

運動量空間で、"G" は 2 粒子グリーン関数 、"S" は自由伝播関数、"K" は相互作用核で、2 つの粒子間のすべての可能な相互作用が含まれます。ここで重要なステップは、グリーン関数の極として束縛状態が現れるという仮定です。2 つの粒子が集まって質量 "M" の束縛状態を形成し、この束縛状態が自由に伝播し、その後、束縛状態が再び 2 つの構成要素に分裂すると仮定します。したがって、 2 つの構成要素が束縛状態 に遷移する振幅であるベーテ・サルペーター波動関数を導入し、極の近傍のグリーン関数の仮定を次のようにします。 ${\displaystyle \langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle }$${\displaystyle \Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle }$${\displaystyle \phi_{i}}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},}$

ここで、P はシステムの全運動量です。この運動量に対して方程式が成り立つ場合、これはまさにアインシュタインのエネルギー運動量関係( 4 元運動量と) であり、4 点グリーン関数には極が含まれます。この仮説を上記のダイソン方程式に代入し、全運動量「P」をエネルギー運動量関係が成り立つように設定すると、項の両側に極が現れます。 ${\displaystyle P^{2}=M^{2}}$ ${\displaystyle P_{\mu}=\left(E/c,{\vec {p}}\right)}$${\displaystyle P^{2}=P_{\mu }\,P^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}}$

残留物を比較すると

${\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi ,\,}$

これはすでにベーテ・サルペーター方程式であり、ベーテ・サルペーター波動関数で記述されています。上記の形式を得るには、ベーテ・サルペーター振幅「Γ」を導入します。

${\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }$

そして最終的に

${\displaystyle \Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }$

これは明示的に運動量依存性をつけて上に書かれています。

原則として、相互作用カーネル K には、2 つの構成要素間で発生する可能性のあるすべての 2 粒子不可約相互作用が含まれます。実用的な計算を実行するには、相互作用のサブセットを選択してモデル化する必要があります。量子場理論と同様に、相互作用は粒子の交換 ( QEDでは光子、量子色力学ではグルーオンなど) によって記述されますが、接触相互作用以外では、最も単純な相互作用は、これらの力を運ぶ粒子の 1 つだけを既知のプロパゲータと交換することによってモデル化されます。

ベーテ・サルペーター方程式は摂動論的な観点から相互作用を無限回合計するため、結果として得られるファインマングラフは梯子（または虹）の形に似ているため、この近似の名前が付けられています。

QED ではラダー近似は交差対称性とゲージ不変性に関する問題を引き起こし、交差ラダー項が含まれることを示唆している。量子色力学(QCD) では、この近似はハドロンの質量とその構造をベーテ-サルペーター振幅とファデーエフ振幅の観点から計算するために現象論的に頻繁に使用され、そのよく知られた仮説はマリスとタンディによって提案されている。^[4]レインボーラダー切断内のドレスドクォーク-グルーオン頂点に対するこのような仮説はカイラル対称性とその動的破れを尊重し、したがって強い核相互作用の重要なモデル化である。一例として、パイオンの構造はユークリッド空間のベーテ-サルペーター方程式からマリス-タンディ仮説を適用して解くことができる。^[5]

任意の同次方程式の解と同様に、ベーテ・サルペーター方程式の解は数値因子まで決定される。この因子は、特定の正規化条件によって指定される必要がある。ベーテ・サルペーター振幅の場合、これは通常、確率保存を要求することによって行われる（量子力学的波動関数の正規化に似ている）。これは、次の式に対応する。^[6]

${\displaystyle 2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}\,S_{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\,K\right)\,S_{1}\,S_{2}\right)\Gamma }$

束縛状態の電荷とエネルギー運動量テンソルへの正規化は同じ方程式につながる。レインボーラダー近似では、この相互作用カーネルはベーテ・サルペーター振幅の全運動量に依存せず、その場合、正規化条件の2番目の項は消える。対応する線形演算子の固有値に基づく別の正規化は、中西によって導出された。^[6]

ベーテ-サルペーター方程式は、ベーテ-サルペーター振幅のすべての運動学領域に適用されます。したがって、関数が連続していない振幅を決定します。このような特異点は通常、構成運動量が時間的である場合に位置し、この方程式のユークリッド空間解から直接アクセスすることはできません。代わりに、これらのタイプの積分方程式を時間的領域で直接解く方法を開発します。^[7]レインボーラダー切断でのスカラー粒子交換によるスカラー束縛状態の場合、ミンコフスキー空間のベーテ-サルペーター方程式は、中西積分表現の助けを借りて解くことができます。^[8]

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多くの現代の量子場理論の教科書といくつかの論文では、ベーテ・サルペーター方程式の背景と用途について教育的な説明が提供されています。参照:

• W. Greiner、 J . Reinhardt (2003)。量子電気力学（第3版）。Springer。ISBN 978-3-540-44029-1。
• ZK Silagadze (1998). 「Wick–Cutkosky モデル: 入門」. arXiv : hep-ph/9803307 .

それでも、中西氏のレビュー記事は良い紹介を与えている。

• 中西 暢 (1969). 「ベーテ・サルペーター方程式の理論の概観」.理論物理学の進歩補足. 43 : 1– 81. Bibcode :1969PThPS..43....1N. doi : 10.1143/PTPS.43.1 .

歴史的な側面については、

• EE サルピーター (2008)。 「ベーテ・サルピーター方程式（起源）」。スカラーペディア。3 (11): 7483.arXiv : 0811.1050。Bibcode :2008SchpJ...3.7483S。土井：10.4249/scholarpedia.7483。S2CID  32913032。

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