ディリクレ空間

数学において、領域上の ディリクレ空間（ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられた）は、ハーディ空間内に含まれる正則関数の再生核ヒルベルト空間であり、次式で定義される ディリクレ積分が成り立つ空間である。${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ,\,{\mathcal {D}}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{2}(\オメガ )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }|f^{\prime }(z)|^{2}\,dA={1 \over 4\pi }\iint _{\Omega }|\partial _{x}f|^{2}+|\partial _{y}f|^{2}\,dx\,dy}$

は有限です（ここで、dA は複素平面 上の面積ルベーグ測度を表します）。後者は調和関数に対するディリクレの原理で発生する積分です。ディリクレ積分は上の半ノルムを定義します。fが定数関数である場合は常に、これは一般にノルムではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(f)=0}$

について、次のように定義する。 ${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,g):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }f'(z){\overline {g'(z)}}\ ,dA(z).}$

これは半内積であり、明らかに である。を次のように表される 内積で表すことができる。${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,f)={\mathcal {D}}(f)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{{\mathcal {D}}(\Omega )}:=\langle f,\,g\rangle _{H^{2}(\Omega )}+{\ mathcal {D}}(f,\,g)\;\;\;\;\;(f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )),}$

ここで、通常の内積は、対応するノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle _{H^{2}(\Omega )}}$${\displaystyle H^{2}(\オメガ ).}$${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}}$

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}^{2}:=\|f\|_{H^{2}(\Omega )}^{2}+ {\mathcal {D}}(f)\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega ))。$

この定義は一意ではないことに注意してください。別の一般的な選択は、ある固定された に対してを取ることです。 ${\displaystyle \|f\|^{2}=|f(c)|^{2}+{\mathcal {D}}(f)}$${\displaystyle c\in \Omega }$

ディリクレ空間は代数ではないが、ノルムに関して バナッハ代数である。${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}:=\|f\|_{H^{\infty }( \オメガ )}+{\mathcal {D}}(f)^{1/2}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\オメガ)\cap H^{\infty }(\Omega )).}$

通常は（複素平面の単位円板）となるので、その場合、 ${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {D} ):={\mathcal {D}}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}),}$

それから

${\displaystyle D(f)=\sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2},}$

そして

${\displaystyle \|f\|_{\mathcal {D}}^{2}=\sum _{n\geq 0}(n+1)|a_{n}|^{2}.}$

明らかに、には のすべての多項式、さらに一般的にはが上で有界となるような上の正則関数 がすべて含まれています。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle f'}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

の再生核は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle k_{w}(z)={\frac {1}{z{\overline {w}}}}\log \left({\frac {1}{1-z{\overline {w}} }}\right)\;\;\;\;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})。}$

• バナッハ空間
• ベルイマン空間
• 丈夫なスペース
• ヒルベルト空間

• Arcozzi, Nicola; Rochberg, Richard; Sawyer, Eric T.; Wick, Brett D. (2011)、「ディリクレ空間：概観」（PDF）、New York J. Math.、17a：45–86
• El-Fallah, Omar; Kellay, Karim; Mashreghi, Javad; Ransford, Thomas (2014)。ディリクレ空間入門。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-04752-5。