レイリー・クオ基準

レイリー・クオ基準（クオ基準と呼ばれることもある）は、流体の安定条件である。この基準は、順圧不安定性が発生して渦（渦や嵐など）が発生するかどうかを決定する。クオ基準によれば、順圧不安定性が発生するには、流れの境界内のある時点で絶対渦度の勾配の符号が変わる必要がある。 ^{[1] [2]}この基準は必要条件であるため、この基準が満たされない場合は順圧不安定性は形成されないことに注意する。ただし、この基準は十分条件ではないため、この基準が満たされても、必ずしも流体が不安定であることを意味するわけではない。この基準が満たされない場合は、流れが安定していることは確実である。^[3]

この基準はHsiao-Lan Kuoによって定式化され、流体力学でこの方程式を最初に導入したレイリー卿にちなんで名付けられたレイリー方程式に基づいています。

渦のような渦は、流れの不安定性によって生成されます。平均流内に不安定性があると、平均流から小さな擾乱にエネルギーが伝達され、それが成長する可能性があります。順圧流体では、密度は圧力のみの関数であり、温度の関数ではありません（傾圧流体では、密度は圧力と温度の両方の関数です^[3]）。つまり、一定密度（等密度面）の表面は一定圧力（等圧面）の表面でもあります。^[4]順圧不安定性はさまざまな方法で形成されます。2つの例は次のとおりです。流体の流れと領域の水深または地形との間に相互作用がある場合、および前線不安定性がある場合（傾圧不安定性にもつながる可能性があります）。これらの不安定性は密度に依存せず、流体の密度が一定の場合でも発生する可能性があります。むしろ、図 1 に見られるように、不安定性のほとんどは流れのせん断によって引き起こされます。速度場のこのせん断により、流れの中に垂直方向と水平方向の渦が発生します。その結果、流れの右側に湧昇が、左側に沈降が起こります。この状況は、順圧不安定流れにつながる可能性があります。流れの両側に交互に形成される渦は、この不安定性の一部です。

この不安定性を実現するもう 1 つの方法は、ロスビー波を水平方向にずらすことです (図 2 を参照)。これにより、平均流から小さな摂動 (渦) に向かって運動エネルギー(位置エネルギーではない) が伝達されます。 ^[5]レイリー - クオの基準では、絶対渦度の勾配が領域内で符号を変える必要があるとされています。右側のせん断誘起渦の例では、これは、流れの交差方向の 2 次導関数がどこかでゼロになる必要があることを意味します。これは渦の中心で発生し、そこでは流れに 垂直な流れの加速度が方向を変えます。

回転する流体におけるこれらの不安定性の存在は、実験室実験で観察されている。実験の設定はメキシコ湾流の条件に基づいており、メキシコ湾流などの海流内では、順圧不安定性が発生する可能性があることを示した。^{[6]しかし、順圧不安定性は他の}西部境界流（WBC）でも観察されている。アガラス海流では、順圧不安定性によりリングの分離が起こる。アガラス海流は 南アフリカの海岸近くで逆行（反転）する。この同じ場所で、いくつかの高気圧性の暖かい水リングが平均流から逃れ、アフリカの海岸に沿って移動する。これらのリングの形成は、順圧不安定性の現れである。^[7]

レイリー・クオ基準の導出は、 1949年にシャオラン・クオが「順圧大気中の2次元非発散流の動的不安定性」という論文で初めて記述しました。^[1]この導出は、以下に繰り返して簡略化されています。^[2]

まず、Hsiao-Lan Kuo による仮定について説明します。次に、 Rayleigh–Kuo 基準を導出するためにRayleigh 方程式を導出します。この方程式を積分し、境界条件を満たすことで、Kuo 基準が得られます。

レイリー・クオ基準を導くために、流体の特性についていくつかの仮定が立てられる。ここでは、非発散の 2 次元順圧流体を考える。流体は平均帯状流方向を持ち、子午線方向に変化する可能性がある。この平均流には、帯状方向と子午線方向の両方に小さな摂動が加えられる:および。渦度方程式を線形化するには、摂動が小さいことが必要である。流体の垂直方向の動きと発散および収束は無視される。これらの要因を考慮すると、速度プロファイル内で基準の位置をわずかにシフトするだけで、同様の結果が得られるはずである。^[1]${\displaystyle u(y,t)=U(y)+u^{*}(y,t)}$${\displaystyle v=v^{*}}$

Kuo 基準の導出は領域内で行われます。この領域の北と南の境界では、子午線流体はゼロです。 ${\displaystyle L=[0,y]}$

順圧流体のレイリー方程式を導くには、順圧渦度方程式を使います。この方程式は絶対渦度が保存されると仮定します。ここで、は物質導関数です。絶対渦度は相対渦度と惑星渦度を足したものです。相対渦度 は地球に対する流体の回転です。惑星渦度 (コリオリ周波数とも呼ばれます)は地球の自転によって生じる小塊の渦度です。惑星渦度にベータ平面近似を適用すると、絶対渦度の保存は次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {d\zeta _{a}}{dt}}=0}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$${\displaystyle \zeta _{a}=\zeta +f}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d\zeta _{a}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\zeta +\beta y\right)=0}$$ 相対渦度は次のように定義されます。流れ場は小さな摂動を伴う平均流で構成されるため、次のように記述できます。この定式化は渦度方程式で使用されます。 ${\displaystyle \zeta ={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}.}$${\displaystyle \zeta ={\overline {\zeta }}+\zeta ^{*}}$${\displaystyle {\overline {\zeta }}=-{\frac {\partial U}{\partial y}}}$${\displaystyle \zeta^{*}={\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dt}}\left(\zeta +\beta y\right)\\0&={\frac {d}{dt}}\left(\zeta '+{\overline {\zeta }}+\beta y\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\left(\zeta ^{*}-{\frac {\partial U}{\partial y}}+\beta y\right)\end{aligned}}}$$ここで、およびは流れの帯状成分と子午線成分であり、は流れ（および）の摂動によって誘発される相対渦度です。は平均帯状流であり、は惑星の渦度のに関する微分です。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \zeta '}$${\displaystyle u'}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$

小さな摂動を伴う帯状平均流 と、平均がゼロの子午線流が想定されています。摂動が小さいと想定されているため、すべての非線形項 (2 つ以上の小さな変数、つまり が互いに乗算される項) を無視して、上記の順圧渦度方程式を線形化できます。また、帯状方向の の導関数、平均流の時間導関数、および の時間導関数はゼロです。これにより、簡略化された方程式が得られます。 ${\displaystyle u=U+u^{*}}$${\displaystyle v=v^{*}}$${\displaystyle u^{*},v^{*},\zeta ^{*}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \beta y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\zeta '-v'{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial U}{\partial y}}+v'{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\beta y\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\zeta '+v'\left(\beta -{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

上記で定義したように（）、および流れの帯状成分と子午線成分に小さな摂動が生じます。 ${\displaystyle \zeta '}$${\displaystyle \zeta ^{*}={\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}}$${\displaystyle u^{*}}$${\displaystyle v^{*}}$

線形化された方程式の解を求めるために、レイリー卿は流速の摂動に対する流れ関数を導入しました。

$${\displaystyle u^{*}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\;\;\;\;v^{*}={\frac {-\partial \psi }{\partial x}}.}$$流れ関数のこれらの新しい定義は、線形化された順圧渦度方程式を書き直すために使用されます。 ここで、は に関する の2次導関数です。この流れ関数の方程式を解くために、レイリーによって という波のような解法が提案されました。振幅は複素数 、は実数である波数、 は複素数である位相速度です。この提案された解を挿入すると、レイリー方程式と呼ばれる方程式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}\right)+v^{*}\left(\beta -{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle U''}$${\displaystyle U}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (U''={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}})}$${\displaystyle \psi (x,y,t)=\Psi (y)e^{i\alpha \left(x-ct\right)}}$${\displaystyle \Psi (y)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\\[14pt]0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left((i\alpha )^{2}\Psi e^{i\alpha \left(x-ct\right)}+\Psi ''e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\right)+i\alpha \Psi e^{i\alpha (x-ct)}(\beta -U'')\\[14pt]0&=(i\alpha )^{2}\Psi e^{i\alpha (x-ct)}(-i\alpha c+i\alpha U)+\Psi ''e^{i\alpha (x-ct)}(-i\alpha c+i\alpha U)+i\alpha \Psi e^{i\alpha (x-ct)}(\beta -U'')\\[14pt]0&=i\alpha e^{i\alpha (x-ct)}[(\alpha ^{2}c-\alpha ^{2}U)\Psi +\Psi ''(-c+U)+\Psi (\beta -U'')]\\[14pt]0&=(U-c)(\Psi ''-\alpha ^{2}\Psi )+(\beta -U'')\Psi )\\[14pt]\end{aligned}}}$$この方程式を得るために、最後のステップで は ゼロにはならず、指数もゼロにはならないことが使用されました。つまり、角括弧内の項はゼロでなければなりません。記号は、に関する流れ関数の振幅の2次導関数を表します。この最後に導出された方程式は、レイリー方程式として知られ、線形常微分方程式です。この方程式を明示的に解くのは非常に困難です。そのため、Hsiao-Lan Kuo は、実際にこの問題を解くことなく、安定性の基準を考案しました。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Psi ''}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (\Psi ''={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}})}$

レイリー方程式を解く代わりに、Hsiao-Lan Kuo は、流体が不安定になるために満たされなければならない必要な安定条件を考案しました。この基準に達するために、レイリー方程式が書き直され、流れ場の境界条件が使用されます。

最初のステップは、レイリー方程式を で割り、その方程式にの複素共役を掛けることです。 ${\displaystyle (U-c)}$${\displaystyle \Psi \;\;(\Psi ^{*}=\Psi _{r}-i\Psi _{i})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(\Psi ''-\alpha ^{2}\Psi )+\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)\Psi \\0&=\Psi ^{*}(\Psi _{r}''+i\Psi _{i}''-\alpha ^{2}\Psi _{r}-\alpha ^{2}i\Psi _{i})+\Psi ^{*}\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)(\Psi _{r}-i\Psi _{i})\\0&=\Psi _{r}\Psi _{r}''+\Psi _{i}\Psi _{i}''-\alpha ^{2}(\Psi _{r}^{2}-\Psi _{i}^{2})+\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)(\Psi _{r}^{2}-\Psi _{i}^{2})+i(-\Psi _{i}\Psi _{r}''+\Psi _{r}\Psi _{i}'')\\0&=\Psi _{r}''\Psi _{r}+\Psi _{i}''\Psi _{i}+\left(-\alpha ^{2}+{\frac {U-c_{r}}{|U-c|^{2}}}(\beta -U'')\right)|\Psi |^{2}+i\left({\frac {c_{i}}{|U-c|^{2}}}(\beta -U'')|\Psi |^{2}-\Psi _{r}''\Psi _{i}+\Psi _{i}''\Psi _{r}\right)\end{aligned}}}$$最後のステップでは、その複素共役を乗じて次の等式が使用されます: 。レイリー方程式の解が存在するためには、上記の方程式の実数部と虚数部の両方がゼロに等しくなければなりません。 ${\displaystyle (U-c)}$${\displaystyle {\frac {1}{U-c}}={\frac {1}{U-c_{r}-ic_{i}}}={\frac {U-c_{r}+ic_{i}}{|U-c|^{2}}}}$

Kuo 基準に達するには、虚数部を領域 ( ) にわたって積分します。 仮定ですでに述べたように、領域の境界での流れ関数はゼロです。 領域境界ではゾーンフローが消えなければなりません。 これにより、便宜上ゼロに設定された一定の流れ関数が得られます。 ${\displaystyle y=[0,L]}$${\displaystyle \Psi (0)=\Psi (L)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{L}(\Psi _{r}\Psi _{i}''-\Psi _{i}\Psi _{r}'')dy+\int _{0}^{L}\left(c_{i}{\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')\right)=0}$

最初の積分は次のように解くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{L}(\Psi _{r}\Psi _{i}''-\Psi _{i}\Psi _{r}'')dy&=\int _{0}^{L}{\frac {\partial }{\partial y}}(\Psi _{r}\Psi _{i}'-\Psi _{i}\Psi _{r}')dy\\[8pt]&=(\Psi _{r}\Psi _{i}'-\Psi _{i}\Psi _{r}')|_{0}^{L}\\[8pt]&=0\\[12pt]\end{aligned}}}$

したがって、最初の積分はゼロになります。つまり、2 番目の積分もゼロになるはずなので、この積分を数値的に解くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{L}\left(c_{i}{\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')\right)dy&=0\\\end{aligned}}}$

がゼロのとき、解の安定した振幅を扱っています。これは、解が安定していることを意味します。不安定でない状況を探しているので、 はゼロになるはずです。 の前の分数はゼロではなく正なので、 はゼロになるはずだという結論が導かれます。これは最終的な定式化、Kuo 基準につながります。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle {\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')}$${\displaystyle (\beta -U'')}$${\displaystyle (\beta -U'')}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\beta -U''&=0\\[10pt]\beta &=U''\\[10pt]{\frac {\partial (\beta y)}{\partial y}}&={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\end{aligned}}}$$ここで、は平均帯状流であり、 は惑星の渦度のに関する微分です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$