2次元における軸の回転

数学において、2次元における軸の回転は、 xy-直交座標系からx′y′-直交座標系への写像であり、原点は固定され、x′軸とy′軸はx軸 とy軸を反時計回りに角度 回転させることによって得られる。点Pは、元のシステムに関して座標( x、y )を持ち、新しいシステムに関して座標( x′、y′ )を持つ。 ^[1] 新しい座標系では、点Pは反対方向、つまり時計回りに角度 回転したように見える。2次元を超える次元における軸の回転も同様に定義される。^{[2] [3]軸の回転は}線型写像^{[4] [5]} であり、剛体変換である。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$

座標系は、解析幾何学の方法を用いて曲線の方程式を研究するために不可欠です。座標幾何学の方法を使用するには、軸を、検討中の曲線に対して都合の良い位置に配置します。たとえば、楕円と双曲線の方程式を研究する場合、焦点は通常、軸の 1 つにあり、原点に対して対称に配置されます。曲線 (双曲線、放物線、楕円など) が軸に対して都合の良い位置に配置されていない場合は、座標系を変更して、曲線を都合の良い、馴染みのある位置と方向に配置する必要があります。この変更を行うプロセスは、座標の変換と呼ばれます。^[6]

多くの問題の解決は、座標軸を回転させて同じ原点を通る新しい軸を取得することで簡素化できます。

xy軸を反時計回りに角度を変えてx′y′軸に回転させる 2 次元変換を定義する方程式は、次のように導出されます。 ${\displaystyle \theta}$

xyシステムでは、点P が極座標 を持ちます。すると、x′y′システムでは、P は極座標 を持ちます。 ${\displaystyle (r,\alpha )}$${\displaystyle (r,\alpha -\theta )}$

三角関数を使うと、

そして、差を求める 標準的な三角法の公式を使うと、

式（１）と（２）を式（３）と（４）に代入すると、^{[7]が得られる。}

式（５）と式（６）は行列形式で次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

これは2次元における軸の回転の標準的な行列方程式である。^[8]

逆変換は^[9]

または $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}$$

軸を角度、つまり 30° 回転させた後の点の座標を求めます。${\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)}$${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$

解決： $${\displaystyle x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/ 2)+(1)(1/2)=2}$$ $${\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\ sqrt {3}})(1/2)=0.}$$

軸は反時計回りに の角度だけ回転し、新しい座標は です。点は固定軸に対して時計回りに だけ回転したように見えるため、(新しい) x′軸と一致することに注意してください。 ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$${\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$${\displaystyle \pi /6}$

軸を時計回りに 90°、つまり角度 、つまり -90° 回転させた後の点の座標を求めます。 ${\displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}$${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$

解決： $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.}$$

軸は の角度、つまり時計回り方向に回転しており、新しい座標は です。ここでも、点は固定軸に対して反時計回り方向に 回転しているように見えることに注意してください。 ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$${\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$${\displaystyle \pi /2}$

最も一般的な2次方程式は次の形をとる。

座標変換（軸の回転と軸の平行移動）により、式（9 ）は標準形に置き換えることができ、通常は扱いやすくなります。座標を特定の角度で回転させてx′y′項を消去することは常に可能です。式（7）と（8）を式（9）に代入すると、次の式が得られます。

どこ

が選択されると、となり、式( 10 )のx′y′項は消える。^[11]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$${\displaystyle B'=0}$

B、D、Eがすべて0と異なる問題が発生した場合、回転（ Bの除去）と平行移動（ D項とE項の除去）を連続して実行することで、これらを除去することができます。^[12]

式（ 9 ）で与えられる非退化円錐曲線は、を評価することによって識別できる。円錐曲線は、次の式で表される。^[13]${\displaystyle B^{2}-4AC}$

• 楕円または円の場合、${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
• 放物線の場合、${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• 双曲線の場合。${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$

直交するxyz座標系が、そのz軸の周りを反時計回りに（正のz軸を見下ろして）角度回転すると仮定します。つまり、正のx軸が正のy軸に直接回転します。各点のz座標は変更されず、 x座標 とy座標は上記のように変換されます。点Qの古い座標（x、y、z ）は、新しい座標（ x′、y′、z′）と^[14]によって関連付けられます。${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

任意の有限次元に一般化すると、回転行列は 単位行列と最大4つの要素 が異なる直交行列になります。これらの4つの要素は次の形式になります。${\displaystyle A}$

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$     そして     ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

いくつかはi ≠ jである。^[15]${\displaystyle \theta }$

正のw軸が角度、つまり 15° 回転して正のz軸に回転した後の点の座標を求めます。 ${\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$${\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}$

解決： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

• 回転
• 回転（数学）

• アントン、ハワード（1987）、初等線形代数（第5版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門: 群、環、体へのオプション入門』、ボストン:ホートン ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• バーデン、リチャード L.; フェアーズ、J. ダグラス (1993)、数値解析(第 5 版)、ボストン: プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3
• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、大学微積分学と解析幾何学(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、LCCN  76087042