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アーリヤバタの正弦表は、 5 世紀の インドの数学者で天文学者 であるアーリヤバタ(476 - 550 年)が著した天文学論文アーリヤバティーヤ に記載されている 24 個の数値のセットで、円の特定の弧のセットの半弦を計算するために使用されます。数値のセットは、アーリヤバティーヤの第 1 章ダサギティカの 12 節に現れ、最初の正弦表です。[ 1 ] [ 2 ]これは、現代の数学表の意味での表ではありません。つまり、行と列に並べられた数値のセットではありません。[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]アーリヤバタの表は、慣習的な意味での三角関数の正弦関数の値のセットでもありません。これは、分角で表された三角関数の正弦値の差分表であり、そのためこの表はアーリヤバタの正弦差分表とも呼ばれています。[ 6 ] [ 7 ]
アーリヤバタの表は、数学の歴史上初めて作成された正弦表でした。[ 8 ]ヒッパルコス（紀元前190年頃 - 紀元前120年頃）とメネラオス（紀元70年頃 - 紀元140年頃）の表、そしてプトレマイオス（紀元90年頃 - 紀元168年頃）の表 は、現在では失われていますが、いずれも半弦ではなく弦の表でした。 [ 8 ] アーリヤバタの表は、古代インドの標準正弦表として残りました。この表の精度を向上させるための試みが継続的に行われました。これらの努力は、最終的にケーララ天文学・数学学派の創始者であるサンガマグラーマのマダヴァ（1350年頃 - 1425年頃）による正弦関数と余弦関数のべき級数展開の発見、そしてマダヴァによる小数点以下7桁または8桁の精度を持つ正弦表の作成へと結実した。
数学史家の中には、アーリヤバティーヤに示されている正弦表は、古代ギリシャの数学者や天文学者によって作成された以前の表を改変したものであると主張する者もいる。[ 9 ]古代の精密科学に関するアメリカの著名な歴史家の一人であるデイビッド・ピングリーも、そのような見解の提唱者であった。この仮説を前提として、GJ トゥーマー[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]は次のように書いている。「ギリシャの天文学モデルがインドに最初に伝わった時期、あるいはそもそもそれらのモデルがどのようなものであったかについての文書はほとんど存在しない。したがって、我々に伝わっているものが伝承された知識を表している範囲と、インドの科学者による独自の知識を表している範囲を確定することは非常に難しい。…真実はおそらく両者が複雑に混ざり合ったものだろう。」[ 13 ]
アーリヤバタのサンスクリット語の詩に符号化された値は、アーリヤバティーヤで説明されている数値体系を使用して解読でき、解読された数値は下の表にリストされています。表では、アーリヤバタの正弦表に関連する角度の測定値が2列目にリストされています。3列目には、上記のサンスクリット語の詩に含まれる数値のリストがデーヴァナーガリー文字で含まれています。デーヴァナーガリー文字を読めないユーザーの便宜のために、これらの単語数字は4列目にISO 15919翻字で再現されています。次の列には、これらの数値がヒンドゥーアラビア数字で含まれています。アーリヤバタの数値は、正弦の値の最初の差分です。対応する正弦（またはより正確にはjya ）の値は、その差分までの差分を合計することによって得られます。したがって、18° 45′ に対応するjyaの値は、225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105 の合計です。アーリヤバタの計算の正確さを評価するために、jyaの現代の値が表の最後の列に示されています。
インドの数学の伝統では、角度の正弦（またはjya）は数の比ではありません。それは特定の線分、特定の半弦の長さです。基円の半径は、このような表を作成するための基本パラメータです。歴史的に、このパラメータの異なる値を使用して、いくつかの表が作成されてきました。アーリヤバタは、正弦表の計算のために、基円の半径の値として 3438 を選択しました。このパラメータを選択した根拠は、角度の単位で円周を測定するという考え方です。天文学の計算では、距離は度、分、秒などで測定されます。この単位では、円周は 360° = (60 × 360) 分 = 21600 分です。円周が 21600 分である円の半径は、21600 / 2π 分です。アーリヤバタが知っていたπ = 3.1416の値を用いて計算すると、円の半径は約3438分となる。アーリヤバタの正弦表はこの値を基にした円の半径である。この値を最初に円の半径に用いた人物はまだ特定されていない。しかし、アーリヤバティーヤはこの基本定数への言及を含む現存する最古の文献である。[ 14 ]
アーリヤバティーヤの第2節「ガニタパード」には、正弦表の計算方法を示す詩節が含まれています。この詩節の意味を正しく解釈するには、いくつかの曖昧さがあります。例えば、カッツによるこの詩節の翻訳は次のようになりますが、角括弧内の単語は翻訳者による挿入であり、詩節のテキストの翻訳ではありません。[ 14 ]
これは、正弦関数の2階微分が正弦関数の負の値に等しいという事実を指しているのかもしれません。