アリストテレスの車輪のパラドックス

アリストテレスの車輪のパラドックスは、擬似アリストテレス主義のギリシャの著作『機械論』に登場するパラドックスまたは問題である。それは次のように述べている。車輪は2次元空間で2つの円として表される。その大きい方の外側の円は水平面（車輪が転がる道路など）に接しており、小さい方の内側の円は同じ中心を持ち、大きい方の円にしっかりと固定されている。（小さい方の円は、タイヤのビード、タイヤが取り付けられているリム、または車軸である。）大きい方の円が滑ることなく1回転すると仮定すると、両方の円の円周が移動する距離は同じである。大きい方の円の移動距離はその円周に等しいが、小さい方の円の移動距離は円周よりも大きいため、パラドックスが生じる。

このパラドックスは車輪に限ったことではありません。テープのロールや、横に転がした典型的な丸いボトルや瓶など、2 次元で描かれた他の物体でも同じ動作が見られます (小さい方の円は瓶やボトルの口または首です)。

この問題の別のバージョンでは、大きい円ではなく小さい円が水平面と接触しています。例としては、フランジのある典型的な列車の車輪や、ベンチにまたがるバーベルなどがあります。アメリカの教育者で哲学者のイスラエル・ドラブキンは、これらをパラドックスのケース II バージョンと呼び、^[1]類似しているが同一ではない分析が適用されます。

古代、車輪の問題はギリシャの著作『機械論』で説明されていた。これは伝統的にアリストテレスに帰せられているが、彼の学派の後代の人物によって書かれたと広く信じられている。^{[2] （トーマス・ウィンターは、}アルキタスによって書かれたという別の提案をしている。^{[3] ）この問題は、}アレクサンドリアのヘロンの『機械論』にも登場する。^{[1] [4]}アリストテレス版では「問題24」として登場し、車輪の説明は次のように与えられている。

というのは、大きい円ΔZΓと小さい円EHBがあり、その両方の中心にA があるとする。大きい方の円が自ら広げる線をZI 、小さい方の円が自ら広げる線でZΛに等しいとしよう。小さい方の円を動かすと、同じ中心、つまりAも動かす。大きい方の円はそれに付随するものとする。AB がHKに垂直になると、同時にAΓ はZΛに垂直になり、常に等しい距離、すなわち円周HBに対してHK、ZΓに対してZΛ を完成したことになる。四分の一が等しい距離だけ広がると、円全体が円全体と等しい距離だけ広がることは明らかであり、そのため線BH がKに達すると、円周ZΓ はZΛになり、円全体が広がることになる。同様に、大きい円を動かして小さい円をそれに合わせると、中心は同じなので、AB はAΓと同時に AΓ に垂直で直角になり、後者はZIに、前者はHΘに垂直になります。したがって、一方がHΘに等しい線、もう一方がZIに等しい線を完成すると、ZA は再びZΛに垂直になり、HA はHKに垂直になり、 ΘとIでは最初の状態と同じになります。^[5]

問題は次のように述べられます。

さて、大きい方が小さい方のために止まることはなく、そのため大きい方が一定時間同じ点に留まることはなく、小さい方がどの点も飛び越えることはないので、大きい方が小さい方と同じ経路をたどり、また小さい方が大きい方と同じ経路をたどるのは奇妙である。さらに、それぞれの場合に動きは1つしかないのに、一方では動かされる中心が大きな距離を転がり、他方では小さな距離を転がるのは注目に値する。^[1]

数学者ジェロラモ・カルダーノは1570年に著した『数的比例の新作品^』[6]で車輪の問題について論じ、運動の観点から車輪を分析するという前提に異議を唱えている。^[1] メルセンヌは1623年に著した『創世記における祝典に関する問題』^[7]でさらにこの問題について論じ、2つの円の拡大と収縮のプロセスによって問題を分析できると示唆している。しかしメルセンヌは自分の理解に満足せず、次のように書いている。

実際、私は小さい円が同じ点に2度触れるのか、それとも跳躍と滑りで進むのかを発見することができなかったし、他の誰も発見できなかったと思います。^[1]

ガリレオは著書『二つの新しい科学』の中で、車輪問題を使ってある種の原子論を主張している。彼は円ではなく、同心円状の六角形を一組考えることから分析を始める。この六角形が表面上を「転がる」ことを想像すると、ガリレオは外側の六角形が転がるたびに内側の六角形が新しい面に少し「ジャンプ」することに気づく。^[8]次に、多角形の面の数が非常に多くなると極限で何が起こるかを想像し、内側の多角形が「ジャンプ」する小さな空間がどんどん小さくなることを発見する。彼は次のように書いている。

したがって、千辺を持つ大きな多角形は、その周囲に等しい直線を通過し、その直線の長さを測ります。一方、小さな多角形は、ほぼ等しい直線を通過しますが、その直線は、千辺に等しい千の小さな粒子から構成され、その間に千の小さな空隙が挟まれています。多角形の辺が接する千の線分との関係で、これを「空隙」と呼ぶことができます。^[8]

円は多角形の面の数が無限になる限界に過ぎないので、ガリレオはアリストテレスの車輪には極小の空間または「空隙」で満たされた物質が含まれており、「介在する空隙は定量化されていないが、無限に多い」ことを発見した。^[8]これにより、彼は、物質が「無限に多くの定量化できない原子で構成されている」という意味での原子の信念が、この現象を説明するのに十分であると結論付けた。^[8] ジル・ド・ロベルヴァル（1602–1675）もこの分析に関連している。

ベルナルド・ボルツァーノは、無限の数学についてゲオルク・カントールとその後の思想家に影響を与えた著書『無限の逆説』 （1851年）の中で、アリストテレスの車輪について論じている。ボルツァーノは、2つの相似な弧の点の間には一対一の関係があり、これは半径を描くことで実現できることを指摘し、この一見矛盾している事実の歴史はアリストテレスにまで遡ると述べた。^[1]

『数学的誤謬とパラドックス』の著者は、パラドックスのモデルとして、10 セント硬貨と 50 セント硬貨 (それぞれ小さい円と大きい円を表す) を接着し、中心を揃えて両方とも車軸に固定したものを使用しています。著者は次のように書いています。

これが解決法、あるいはその鍵です。半ドル硬貨がテーブル上で滑らないように注意していても、10セント硬貨の足元の線分をなぞる「点」は常に回転し、滑っています。10セント硬貨はテーブル上に触れていないので、滑っていることに気付きません。半ドル硬貨をテーブルに沿って転がし、同時に10セント硬貨（または車軸）を木のブロックに沿って転がすことができれば、実際に滑っているのを観察できます。縁石の近くに駐車したことがあれば、ホイールキャップが縁石の上で滑って（転がって）キーキーと鳴るのに気付いたでしょう。一方、タイヤは舗装路の上を転がるだけです。小さい円が大きな円に比べて小さいほど、小さい円の滑りが大きくなります。もちろん、2つの円の中心はまったく回転しないので、ずっと滑ります。^[9]

矛盾なのは、小さい内側の円が、自身の円周ではなく、半径Rの大きい外側の円周である2π Rだけ動くことです。内側の円を別々に転がすと、半径r の自身の円周である2π rだけ動きます。内側の円は別の円ではなく、大きい方の円としっかりとつながっています。

小さい円が大きい円に依存している場合 (ケース I)、大きい円の動きによって、小さい円は大きい円の円周を横切るように強制されます。大きい円が小さい円に依存している場合 (ケース II)、小さい円の動きによって、大きい円は小さい円の円周を横切るように強制されます。これが最も単純な解決法です。

この解法は、開始位置から終了位置への遷移を考慮しています。Pbを大きい円上の点、Ps を小さい円上の点とし、両方とも同じ半径上にあるものとします。便宜上、両方とも中心の真下にあると仮定します。これは、時計の針が両方とも 6 を指しているのと同じです。PbとPs は両方とも、一緒に 1 回転しながらサイクロイド経路を移動します。 ^[10]

それぞれが開始から終了まで水平に2π R移動しますが、 Psのサイクロイド経路はPbの経路よりも短く、効率的です。Pb は、中心の経路 (唯一の直線経路) よりも上と下をより遠くまで移動します。

PbとPs がそれぞれの円上の他の場所にあれば、曲線の経路は同じ長さになります。まとめると、小さい円は水平方向に 2π R 移動します。これは、小さい円上のどの点も大きい円上のどの点よりも短い経路をたどり、したがってより直線的な経路をたどるためです。

• 最速降下曲線
• コイン回転パラドックス
• トロコイド

• ハットン、チャールズ(1795)。「アリストテレスの回想」。数学哲学辞典。第 2 巻。398 ページ。2017 年 7 月 2 日のオリジナルからアーカイブ。
• Weisstein、Eric W.「アリストテレスの車輪のパラドックス」。MathWorld。