アントワーヌのネックレス

数学において、アントワーヌのネックレスとは、 3次元ユークリッド空間におけるカントール集合の位相的埋め込みであり、その補集合は単連結ではない。また、すべてのカントール空間は互いに周囲同相であるという主張に対する反例としても機能する。これはルイ・アントワーヌ (1921) によって発見された。^[1]

アントワーヌのネックレスは、次のように反復的に構築されます。まず、ソリッド トーラス A ^{0 (反復 0) から始めます。次に、} A ^{0 の}内側にある、連結された小さなトーラスの「ネックレス」を構築します。このネックレスがA ^{1 (反復 1) です。} A ¹を構成する各トーラスは、A ⁰の場合と同様に、別の小さなネックレスに置き換えることができます。これを行うと、A ² (反復 2) が生成されます。

このプロセスは、可算無限回繰り返すことで、すべてのnに対してA ^{n を}作成できます。アントワーヌのネックレスA は、すべての反復の共通部分として定義されます。

反復回数が増加するにつれて、立体トーラスが任意に小さくなるように選択されるため、Aの連結成分は単一の点である必要があります。すると、Aが閉じていて、それ自体に稠密で、完全に分離されており、連続体の濃度を持っていることが簡単に確認できます。これは、抽象的な計量空間A がカントール集合に同相であると結論付けるのに十分です。

しかし、ユークリッド空間のサブセットとして、A は、線分上にR ³に埋め込まれた標準カントール集合Cに周囲同型ではありません。つまり、CをAに移すR ³ → R ^{3から双連続写像は存在しません。これを示すために、そのような写像}h  : R ³ → R ³があると仮定し、ネックレスと連動したループkを考えます。2つのループは連続的に切り離すことができないため、k はAに触れずに点まで連続的に縮小することはできません。次に、 Cと交わらない任意のループjを考えます。j は、ギャップ間隔を介して移動させることができるため、C に触れずに点まで縮小することができます。しかし、ループg = h ⁻¹ ( k ) は、 C に触れずに点まで縮小できないループであり、前のステートメントと矛盾します。したがって、h は存在できません。

実際、A をハウスドルフ次元< 1の集合に送るR ³の同相写像は存在しません。なぜなら、そのような集合の補集合は単連結でなければならないからです。

アントワーヌの首飾りは、ジェームズ・ワデル・アレキサンダー （1924）がアントワーヌの角球（アレキサンダーの角球に似ているが同じではない）を構築するために使用されました。^{[2]この構築は、}周囲の同位体の観点からすべて等価ではない、円盤または球の3次元空間への無数の埋め込みの存在を示すために使用できます。^[3]

• カンターダスト – 線分上の点の集合
• クナスター・クラトフスキー扇 – 1点を除去すると完全に不連続になる位相空間
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• ホワイトヘッド多様体 – 縮約可能だが R³ に同相ではない 3 次元開多様体フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• ワイルドノット
• スーパーヘリックス
• ハワイアンイヤリング

• Pugh, Charles Chapman (2002)。実数理解析。数学の学部テキスト。Springer New York。pp. 106–108。doi : 10.1007 / 978-0-387-21684-3。ISBN 9781441929419。