1 の行列

数学において、1の行列またはすべて1の行列は、すべての要素が1に等しい行列です。^[1]たとえば、

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

一部の情報源では、すべて1の行列を単位行列と呼んでいますが、^[2]この用語は、異なるタイプの行列 である単位行列を指す場合もあります。

1 のベクトルまたはすべて1 のベクトルは、行形式または列形式を持つ 1 の行列です。単位ベクトルと混同しないでください。

n  ×  nの1 の行列Jについては、次の特性が成り立ちます。

• Jのトレースはnに等しく[ ^3]、行列式はn ≥ 2の場合は0になるが、n = 1の場合は1になる。
• Jの特性多項式はです。${\displaystyle (xn)x^{n-1}}$
• Jの最小多項式はです。${\displaystyle x^{2}-nx}$
• Jの階数は1であり、固有値は重複度1のnと重複度n − 1の0である。^[4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$^[5]について${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$
• Jはアダマール積の中立元である。^[6]

J を実数上の行列として考えると、次の追加の特性も成り立ちます。

• J は半正定値行列です。
• この行列はべき等である。^[5]${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$
• Jの行列指数は${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

すべて 1 の行列は、特に代数的手法のグラフ理論への応用を含む、数学の組合せ論の分野で登場します。たとえば、A がn頂点の無向グラフGの隣接行列であり、Jが同じ次元のすべて 1 の行列である場合、G が正則グラフであるための必要十分条件は、AJ  =  JAです。^{[7] 2 つ目の例として、この行列は、}行列木定理を使用して完全グラフの全域木の数を与えるケイリーの公式 のいくつかの線型代数的証明に登場します。

1の行列の論理平方根、つまり平方が1の行列である論理行列は、中心群を特徴付けるために使用できます。中心群は、恒等 式に従う代数構造です。有限中心群は平方個の要素を持ち、対応する論理行列はそれらの次元に対してのみ存在します。^[8]${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$

• ゼロ行列、すべての要素がゼロである行列
• 単一エントリマトリックス