気団（天文学）

天文学において、気団またはエアマスは、地球の大気圏下から星やその他の天体を観測する際の視線に沿った空気の量の尺度です(Green 1992)。これは、光線に沿った空気密度の積分として定式化されます。

光は大気圏に入ると、散乱と吸収によって減衰します。通過する大気が厚いほど、減衰が大きくなります。その結果、天体は地平線に近いときの方が天頂に近いときよりも暗く見えます。この減衰は大気による減光と呼ばれ、ランベルト・ベールの法則によって定量的に説明されます。

「空気質量」は通常、相対空気質量、つまり斜入射時の絶対空気質量（上記で定義）と天頂時の絶対空気質量の比を示します。したがって、定義により、天頂での相対空気質量は 1 です。空気質量は、発生源と天頂間の角度が増加するにつれて増加し、地平線では約 38 の値に達します。空気質量は、海面よりも高い高度では 1 未満になることがあります。ただし、空気質量の閉じた形式の表現のほとんどには、観測者の高度の影響が含まれないため、通常は他の方法で調整する必要があります。

^{空気質量の表は、Bemporad（1904）、Allen（1973）、 [1]}、Kasten＆Young（1989） など、多数の著者によって出版されています。

絶対空気質量は次のように定義されます。 ここで、は空気の体積密度です。したがって、は斜柱密度の一種です。 $${\displaystyle \sigma =\int \rho \,\mathrm {d} s\,.}$$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \sigma}$

垂直方向では、天頂における絶対空気質量は次のようになります。 $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {zen} }=\int \rho \,\mathrm {d} z}$$

これも一種の垂直列密度です。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {zen} }}$

最終的に、相対的な空気質量は次のようになります。 $${\displaystyle X={\frac {\sigma }{\sigma _{\mathrm {zen} }}}}$$

空気の密度が均一であると仮定すると、積分から空気の密度を除外することができます。絶対空気質量は次の積に簡略化されます。 ここで平均密度、斜めおよび天頂光路の円弧長は次のようになります。 $${\displaystyle \sigma ={\bar {\rho }}s}$$${\displaystyle {\bar {\rho }}=\mathrm {const.} }$ ${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int \,\mathrm {d} s\\s_{\mathrm {zen} }&=\int \,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$$

対応する簡略化された相対空気質量では、平均密度が分数で相殺され、経路長の比が次のように表されます。 $${\displaystyle X={\frac {s}{s_{\mathrm {zen} }}}\,.}$$

以下で説明するように、直線伝播（光線の曲がりを無視）を前提として、さらに単純化が行われることがよくあります。

天体と天頂の角度は天頂角（天文学では一般に天頂距離と呼ばれる）である。物体の角度位置は高度（幾何学的地平線からの角度）で表すこともできる。高度と天頂角は次のように関係している。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle h=90^{\circ }-z\,.}$$

大気の屈折により、大気圏に入る光は、幾何学的な経路よりわずかに長い、ほぼ円形の経路をたどります。空気塊は、長い方の経路を考慮する必要があります (Young 1994)。さらに、屈折により、天体は実際よりも地平線より高く見えます。地平線では、真の天頂角と見かけの天頂角の差は約 34 分角です。ほとんどの空気塊の式は見かけの天頂角に基づいていますが、中には真の天頂角に基づいているものもあるため、特に地平線付近では正しい値が使用されていることを確認することが重要です。^[2]

天頂角が小さい場合から中程度の場合、均質な平行平面の大気（密度が一定で地球の曲率が無視される大気）を想定することで、良好な近似値が得られます。この場合、空気塊は単純に天頂角の正割になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle X=\sec \,z\,.}$$

天頂角が 60° の場合、空気質量はおよそ 2 です。ただし、地球は平面ではないため、この式は精度要件に応じて、約 60° ～ 75° までの天頂角にのみ使用できます。天頂角が大きくなると、精度は急速に低下し、地平線では無限大になります。より現実的な球形の大気の地平線空気質量は、通常 40 未満です。 ${\displaystyle X=\sec \,z}$

空気質量の表の値に合わせるための公式は数多く開発されてきました。Young と Irvine (1967) による公式には、単純な補正項が含まれています。 ここで、は真の天頂角です。この公式では、約 80° までは有効な結果が得られますが、天頂角が大きくなると精度が急速に低下します。計算された空気質量は、86.6° で最大 11.13 に達し、88° でゼロになり、地平線で負の無限大に近づきます。添付の​​グラフにあるこの公式のプロットには、大気の屈折の補正が含まれているため、計算された空気質量は真の天頂角ではなく見かけの天頂角になります。 $${\displaystyle X=\sec \,z_{\mathrm {t} }\,\left[1-0.0012\,(\sec ^{2}z_{\mathrm {t} }-1)\right]\,,}$$${\displaystyle z_{\mathrm {t} }}$

Hardie (1962) は、 の多項式を導入しました。 これは、おそらく 85° までの天頂角に対して使用可能な結果を​​もたらします。前の式と同様に、計算された空気の質量は最大値に達し、その後、地平線で負の無限大に近づきます。 ${\displaystyle \sec \,z-1}$$${\displaystyle X=\sec \,z\,-\,0.0018167\,(\sec \,z\,-\,1)\,-\,0.002875\,(\sec \,z\,-\,1)^{2}\,-\,0.0008083\,(\sec \,z\,-\,1)^{3}}$$

Rozenberg (1966) は、 地平線空気質量が 40 の高天頂角に対して妥当な結果を与えることを示唆しました。 $${\displaystyle X=\left(\cos \,z+0.025e^{-11\cos \,z}\right)^{-1}\,,}$$

カステン＆ヤング（1989）は^[3]

$${\displaystyle X={\frac {1}{\cos \,z+0.50572\,(6.07995^{\circ }+90^{\circ }-z)^{-1.6364}}}\,,}$$ これは、地平線上の空気質量が約 38 のときに、天頂角が最大 90° まで妥当な結果をもたらします。ここで、2 番目の項は度単位です。 ${\displaystyle z}$

ヤング（1994）は 真の天頂角に基づいて展開し、その最大誤差（地平線上）は0.0037空気質量であると主張した。 $${\displaystyle X={\frac {1.002432\,\cos ^{2}z_{\mathrm {t} }+0.148386\,\cos \,z_{\mathrm {t} }+0.0096467}{\cos ^{3}z_{\mathrm {t} }+0.149864\,\cos ^{2}z_{\mathrm {t} }+0.0102963\,\cos \,z_{\mathrm {t} }+0.000303978}}\,}$$${\displaystyle z_{\mathrm {t} }}$

ピカリング（2002）は 見かけの高度を度で表す 方程式を開発した。ピカリングは、彼の方程式は地平線付近ではシェーファー（1998）の10分の1の誤差しかないと主張した。^[4]$${\displaystyle X={\frac {1}{\sin(h+{244}/(165+47h^{1.1}))}}\,,}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle (90^{\circ }-z)}$

補間式は、計算オーバーヘッドを最小限に抑えながら、表形式の空気質量の値にうまく適合するように試みます。ただし、表形式の値は、地球とその大気の幾何学的および物理的考慮から得られる測定値または大気モデルから決定する必要があります。

大気の屈折を無視すると、単純な幾何学的考察 (Schoenberg 1929, 173) から、地球上の 放射状対称な高さの大気を通過する天頂角の光線の 経路は 、または代わりに、 地球の半径で与えられる ことが示されます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$$${\displaystyle s={\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y_{\mathrm {atm} }+y_{\mathrm {atm} }^{2}}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$$$${\displaystyle s={\sqrt {\left(R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }\right)^{2}-R_{\mathrm {E} }^{2}\sin ^{2}z}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$$${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$

相対的な空気質量は次のようになります。 $${\displaystyle X={\frac {s}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}{\sqrt {\cos ^{2}z+2{\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}+\left({\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}\right)^{2}}}-{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}\cos \,z\,.}$$

大気が均質（密度が一定）である場合、大気の高さは静水力学的考察から次のように表されます。 ^[要出典] ここで、はボルツマン定数、は海面温度、は空気の分子量、は重力加速度です。これは等温大気の圧力スケール高さと同じですが、意味合いは若干異なります。等温大気では、大気の 37%（1/ e）が圧力スケール高さより上にあります。均質大気では、大気の高さより上に大気は存在しません。 ${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ $${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }={\frac {kT_{0}}{mg}}\,,}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$

、、をとるととなる。地球の平均半径6371kmを用いると、地平線上の海面気団は ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {288.15~K} }$${\displaystyle m=\mathrm {28.9644\times 1.6605\times 10^{-27}~kg} }$${\displaystyle g=\mathrm {9.80665~m/s^{2}} }$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }\approx \mathrm {8435~m} }$$${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }={\sqrt {1+2{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}}}\approx 38.87\,.}$$

均質球状モデルは、地平線近くの空気塊の増加率をわずかに過小評価します。空気塊を天頂角 90° 未満の値と一致するように設定することで、より厳密なモデルから決定された値に全体的に適切に適合させることができます。空気塊方程式は、  = 88° での Bemporad の値 19.787 と一致するように並べ替えることができ、  ≈ 631.01 および ≈ 35.54 になります。上記と 同じ値で、  ≈ 10,096 m になります。 $${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {X^{2}-1}{2\left(1-X\cos z\right)}}\,;}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$

均質大気は物理的に現実的なモデルではありませんが、大気のスケール高が惑星の半径に比べて小さい限り、近似は妥当です。このモデルは、90°を超える天頂角を含むすべての天頂角で使用できます（§ 高所観測者による均質球状大気を参照）。このモデルは比較的計算オーバーヘッドが少なく、高精度が必要ない場合は妥当な結果が得られます。^[5] ただし、90°未満の天頂角では、いくつかの補間式を使用して、空気質量の許容値によりよく適合させることができます。

実際の大気では、密度は一定ではありません（平均海面からの高度とともに減少します）。上で述べた幾何学的光路の絶対空気質量は、海面観測者にとっては、 $${\displaystyle \sigma =\int _{0}^{y_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\left(R_{\mathrm {E} }+y\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y+y^{2}}}}\,.}$$

標高による密度変化の基本モデルはいくつかよく使われています。最も単純な等温大気は、 海面密度、密度スケール高さ で表されます。積分限界がゼロと無限大のとき、結果はチャップマン関数として知られています。高次の項をいくつか削除すると、近似値が得られ、次の式が得られます (Young 1974、p. 147)。 $${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{-y/H}\,,}$$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle X\approx {\sqrt {\frac {\pi R}{2H}}}\exp {\left({\frac {R\cos ^{2}z}{2H}}\right)}\,\mathrm {erfc} \left({\sqrt {\frac {R\cos ^{2}z}{2H}}}\right)\,.}$$

屈折のおおよその補正は、（Young 1974、p. 147）で行うことができます 。 ここで、は地球の物理的な半径です。地平線では、おおよその式は次のようになります。 $${\displaystyle R=7/6\,R_{\mathrm {E} }\,,}$$${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$$${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }\approx {\sqrt {\frac {\pi R}{2H}}}\,.}$$

スケール高8435m、地球の平均半径6371km、屈折補正を考慮すると、 $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }\approx 37.20\,.}$$

温度が一定であるという仮定は単純すぎる。より現実的なモデルはポリトロープ大気で、ここ では海面温度、 は温度減率である。高度の関数としての密度は であり、 ここで はポリトロープ指数（またはポリトロープ指数）である。ポリトロープモデルの空気質量積分は、天頂を除いて閉じた形の解には適さないため、積分は通常数値的に実行される。 $${\displaystyle T=T_{0}-\alpha y\,,}$$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1-{\frac {\alpha }{T}}_{0}y\right)^{1/(\kappa -1)}\,,}$$${\displaystyle \kappa }$

地球の大気は、温度と密度特性が異なる複数の層から構成されています。一般的な大気モデルには、国際標準大気と米国標準大気があります。多くの目的に適した近似モデルは、高度11km、減率6.5K/kmの多熱帯対流圏と無限高の等温成層圏です（Garfinkel 1967）。これは、国際標準大気の最初の2層に非常によく対応しています。より高い精度が必要な場合は、より多くの層を使用できます。^[6]

大気の屈折を考慮すると、光線追跡が必要となり（Kivalov 2007）、絶対空気質量積分は^[7] となり、 ここで、は観測者の海抜高度における空気の屈折率、は海抜高度における屈折率、 は地球の中心から高度 の点までの距離、は高度 における大気の上限までの距離である。密度に関する屈折率は、通常、グラッドストーン・デールの関係によって十分な精度で与えられる（Garfinkel 1967）。$${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{\mathrm {obs} }}{n}}{\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,}$$${\displaystyle n_{\mathrm {obs} }}$${\displaystyle y_{\mathrm {obs} }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r_{\mathrm {obs} }=R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {obs} }}$${\displaystyle r=R_{\mathrm {E} }+y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r_{\mathrm {atm} }=R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }}$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ $${\displaystyle {\frac {n-1}{n_{\mathrm {obs} }-1}}={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {obs} }}}\,.}$$

絶対空気質量積分に並べ替えて代入すると、 $${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{\mathrm {obs} }}{1+(n_{\mathrm {obs} }-1)\rho /\rho _{\mathrm {obs} }}}\right)^{2}\left({\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,.}$$

この量は非常に小さい。括弧内の最初の項を展開し、数回並べ替え、各並べ替え後の項を無視すると、次のようになる（Kasten & Young 1989）。 ${\displaystyle n_{\mathrm {obs} }-1}$${\displaystyle (n_{\mathrm {obs} }-1)^{2}}$$${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left[1+2(n_{\mathrm {obs} }-1)(1-{\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {obs} }}})\right]\left({\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,.}$$

右の図では、O の観測者は、高度 の均一な放射対称大気中の海抜にいます。天頂角での光線の経路長は で、は地球の半径です。三角形 OAC に余弦定理を適用し、 左辺と右辺を展開し、共通項を消去して整理すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle y_{\text{obs}}}$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle s}$${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(R_{E}+y_{\text{atm}}\right)^{2}&=s^{2}+\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)^{2}-2\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)s\cos \left(180^{\circ }-z\right)\\&=s^{2}+\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)^{2}+2\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)s\cos z\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {{s}^{2}}+2\left({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}\right)s\cos z-2{R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}-y_{\text{atm}}^{2}+2{R_{\text{E}}}{y_{\text{obs}}}+y_{\text{obs}}^{2}=0\,.}$$

経路長sについて二次方程式を解き、因数分解して整理すると、 $${\displaystyle s=\pm {\sqrt {{{\left({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}\right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+2{R_{\text{E}}}\left({y_{\text{atm }}}-{y_{\text{obs}}}\right)+y_{\text{atm}}^{2}-y_{\text{obs}}^{2}}}-({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}})\cos z\,.}$$

根号の負の符号は負の結果をもたらしますが、これは物理的に意味がありません。正の符号を使用して で割り、共通項を消去して並べ替えると、相対的な空気質量が得られます。 ${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$$${\displaystyle X={\sqrt {{{\left({\frac {{R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+{\frac {2{R_{\text{E}}}}{y_{\text{atm}}^{2}}}\left({y_{\text{atm}}}-{y_{\text{obs}}}\right)-{{\left({\frac {y_{\text{obs}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}+1}}-{\frac {{R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}}{y_{\text{atm}}}}\cos z\,.}$$

とを代入すると、これは次のように表される。 ${\displaystyle {\hat {r}}=R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$${\displaystyle {\hat {y}}=y_{\mathrm {obs} }/y_{\mathrm {atm} }}$$${\displaystyle X={\sqrt {{({\hat {r}}+{\hat {y}})}^{2}\cos ^{2}z+2{\hat {r}}(1-{\hat {y}})-{\hat {y}}^{2}+1}}\;-\;({\hat {r}}+{\hat {y}})\cos z\,.}$$

観測者の高度がゼロのとき、空気塊の式は次のように簡略化される。 $${\displaystyle X={\sqrt {{{\left({\frac {R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}\cos ^{2}z+{\frac {2R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}+1}}-{\frac {R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}\cos z\,.}$$

斜入射の限界では、絶対的な気塊は地平線までの距離に等しくなります。さらに、観測者が高所にいる場合、地平線の天頂角は90° を超えることがあります。

静水力学的考慮から導かれる大気モデルは、大気の組成が一定で、消滅のメカニズムが 1 つであると仮定していますが、これは必ずしも正確ではありません。減衰の主な発生源は 3 つあります (Hayes & Latham 1975)。空気分子によるレイリー散乱、エアロゾルによるミー散乱、および分子吸収 (主にオゾンによる) です。各発生源の相対的な寄与は海抜高度によって異なり、エアロゾルとオゾンの濃度は静水力学的考慮から単純に導くことはできません。

厳密に言えば、減衰係数が高度に依存する場合、Thomason、Herman、Reagan (1983) が述べているように、空気塊積分の一部として決定する必要があります。ただし、妥協案が可能な場合が多くあります。閉じた形式の式を使用して各種の減衰を個別に計算する方法は、Schaefer (1993) および Schaefer (1998) で説明されています。後者の参考文献には、計算を実行するBASICプログラムのソース コードが含まれています。単純な空気塊式の 1 つを使用して、減衰する各種の減衰係数を個別に決定することで、減衰をかなり正確に計算できる場合があります (Green 1992、Pickering 2002)。

光学天文学では、気団は観測画像の劣化の指標となる。これはスペクトル吸収、散乱、輝度低下の直接的な影響だけでなく、大気の乱流などから生じる視覚収差の集合体であり、総称して「シーイング」の質と呼ばれる。 ^[8] WHT (Wynne & Worswick 1988) やVLT (Avila, Rupprecht & Beckers 1997)などの大型望遠鏡では、大気分散が非常に激しくなり、望遠鏡をターゲットに向けるのを妨げることがある。このような場合、大気分散補正器が使用されるが、これは通常 2 つのプリズムで構成される。

適応光学に関連するグリーンウッド周波数とフリードパラメータは、それらの上空の空気塊（より具体的には天頂角）に依存します。

電波天文学では、気団（光路長に影響する）は関係ありません。気団によってモデル化された大気の下層は、光波よりも周波数がはるかに低い電波を著しく妨げません。その代わりに、一部の電波は上層大気の電離層の影響を受けます。新しい開口合成電波望遠鏡は、空のはるかに広い部分、つまり電離層を「見る」ため、特にこの影響を受けます。実際、LOFAR はこれらの歪み効果を明示的に較正する必要がありますが（van der Tol & van der Veen 2007; de Vos、Gunst & Nijboer 2009）、その一方で、これらの歪みを測定することで電離層を研究することもできます（Thidé 2007）。

太陽エネルギーや太陽光発電などの分野では、空気塊は AM という頭字語で示されます。また、空気塊の値は AM にその値を付加して示されることが多く、AM1 は空気塊 1、AM2 は空気塊 2 などを示します。太陽放射の大気による減衰がない地球の大気圏上の領域は、「空気塊ゼロ」(AM0) であると見なされます。

大気による太陽放射の減衰はすべての波長で同じではありません。そのため、大気を通過すると強度が減少するだけでなく、スペクトル放射照度も変化します。太陽光発電モジュールは、通常、空気質量1.5（AM1.5）のスペクトル放射照度を使用して評価されます。これらの標準スペクトルの表は、ASTM G 173-03に記載されています。地球外スペクトル放射照度（つまり、AM0の放射照度）は、ASTM E 490-00aに記載されています。^[9]

地平線近くで高精度が要求されない多くの太陽エネルギーアプリケーションでは、空気質量は一般に、 § 平行平面大気で説明されている単純なセカント式を使用して決定されます。

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• Reed Meyer のダウンロード可能な空気質量計算機。C 言語で書かれています (ソース コード内の注釈に理論の詳細が記載されています)
• NASA 天体物理学データ システム 一部の参考文献の電子コピーのソース。