フレイセの限界

数理論理学、特にモデル理論の分野では、フレッセ極限（フレッセ構成またはフレッセ融合とも呼ばれる）は、（有限の）部分構造から（無限の）数学的構造を構築するために使用される方法です。これは、圏における直接極限というより一般的な概念の特別な例です。^{[ 1 ]}この手法は、1950年代にその名の由来となったフランスの論理学者ローランド・フレッセによって開発されました。^{[ 2 ]}

フレッセの構成の主なポイントは、（可算）構造をその有限生成部分構造で近似する方法を示すことである。クラスが与えられた場合${\displaystyle \mathbf {K} }$有限関係構造の場合、${\displaystyle \mathbf {K} }$特定の性質（下記参照）を満たすならば、一意の可算構造が存在する。${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$フレッセ限界と呼ばれる${\displaystyle \mathbf {K} }$のすべての要素が含まれています${\displaystyle \mathbf {K} }$下部構造として。

フレッセ極限および関連概念の一般的な研究は、フレッセ理論と呼ばれることがあります。この分野は、位相力学、関数解析、ラムゼー理論など、数学の他の分野に幅広く応用されています。^{[ 3 ]}

言語を修正する$\displaystyle {\mathcal {L}}}$. によって$\displaystyle {\mathcal {L}}}$-構造とは、シグネチャを持つ論理構造を意味します。$\displaystyle {\mathcal {L}}}$。

与えられた$\displaystyle {\mathcal {L}}}$-構造$\displaystyle {\mathcal {M}}}$ドメイン付き${\displaystyle M}$、およびその部分集合${\displaystyle A\subseteq M}$私たちは${\displaystyle \langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$最小サブストラクチャを表す${\displaystyle {\mathcal {M}}}$そのドメインには${\displaystyle A}$（つまり、${\displaystyle A}$すべての関数と定数記号の下に${\displaystyle {\mathcal {L}}}$)

下部構造${\displaystyle {\mathcal {N}}}$の${\displaystyle {\mathcal {M}}}$は、以下の条件を満たす場合に有限生成であると言われます。${\displaystyle {\mathcal {N}}=\langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ある有限部分集合に対して${\displaystyle A\subseteq M}$[ ^{4 ]}年齢^​​${\displaystyle {\mathcal {M}}}$、と表記される${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$は、 のすべての有限生成部分構造のクラスです。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$。

任意のクラスが${\displaystyle \mathbf {K} }$つまり、ある建造物の築年数が以下の2つの条件を満たす場合：

相続財産（HP）

もし${\displaystyle A\in \mathbf {K} }$そして${\displaystyle B}$は有限生成部分構造である${\displaystyle A}$、 それから${\displaystyle B}$ある構造と同型である${\displaystyle \mathbf {K} }$。

結合埋め込み特性（JEP）

もし${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$すると、${\displaystyle C\in \mathbf {K} }$両方とも${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$埋め込み可能${\displaystyle C}$。

上記のように、任意の${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-構造${\displaystyle {\mathcal {M}}}$、${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$HPとJEPを満たす。フレッセは、ある意味で逆の結果を証明した。${\displaystyle \mathbf {K} }$は、有限に生成された空でない可算集合である。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-上記の2つの特性を持つ構造物であれば、それは何らかの可算構造物の年齢である。

さらに、${\displaystyle \mathbf {K} }$偶然にも、以下の追加特性を満たす。

合併財産（AP）

あらゆる構造物に対して${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {K} }$埋め込みが存在する${\displaystyle f:A\to B}$、${\displaystyle g:A\to C}$構造が存在する${\displaystyle D\in \mathbf {K} }$および埋め込み${\displaystyle f':B\to D}$、${\displaystyle g':C\to D}$そのため${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g}$（つまり、両方の構造において、Aの像上で一致する）。

必須可算性（EC）

同型を除いて、構造は可算個存在する。${\displaystyle \mathbf {K} }$。

この場合、Kはフレッセクラスであり、同型を除いて一意で、可算で、同質な構造が存在するとします。${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$年齢がちょうど${\displaystyle \mathbf {K} }$[ ^{5 ]}この構造はフレッセ限界と呼ばれ^、${\displaystyle \mathbf {K} }$。

ここで、同型とは、任意の同型が${\displaystyle \pi :A\to B}$2つの有限生成部分構造の間${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$構造全体の自己同型写像​​に拡張することができる。

典型的な例はクラスです${\displaystyle \mathbf {FCh} }$すべての有限線形順序のうち、フレッセ極限が端点のない稠密線形順序（つまり、最小元も最大元もない）となるもの。カントールの同型定理によれば、同型を除いて、これは常に構造と等価である。${\displaystyle \langle \mathbb {Q} ,<\rangle }$つまり、通常の順序付けを持つ有理数。

非例として、どちらも${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$または${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$フレイセの限界は${\displaystyle \mathbf {FCh} }$これは、どちらも可算名詞であり、${\displaystyle \mathbf {FCh} }$年齢を重ねるにつれて、どちらも均質ではありません。これを理解するには、下部構造を考えてみましょう。${\displaystyle {\big \langle }\{1,3\},<{\big \rangle }}$そして${\displaystyle {\big \langle }\{5,6\},<{\big \rangle }}$、そして同型性${\displaystyle 1\mapsto 5,\ 3\mapsto 6}$それらの間に。これは、自己同型には拡張できない。${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$または${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$マッピングできる要素がないため${\displaystyle 2}$秩序を維持しながら。

別の例としては、クラスがあります。${\displaystyle \mathbf {Gph} }$すべての有限グラフのうち、フレッセ極限がラドグラフであるもの。^{[ 1 ]}

任意の素数pに対して、標数pの有限体のクラスのフレッセ極限は代数閉包である。${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$。

有限アーベルp群のクラスのフレッセ極限は${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}}$（プリューファー群の可算個のコピーの直和）。すべての有限アーベル群のクラスのフレッセ極限は${\displaystyle \bigoplus _{p{\text{ prime}}}\mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}\simeq (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{(\omega )}}$。

すべての有限群のクラスのフレッセ極限は、ホールの普遍群である。

非自明な有限ブール代数のクラスのフレッセ極限は、唯一の可算無原子ブール代数である。

クラス${\displaystyle \mathbf {K} }$ under consideration is called uniformly locally finite if for every ${\displaystyle n}$, there is a uniform bound on the size of ${\displaystyle n}$-generated (substructures of) structures in ${\displaystyle \mathbf {K} }$. If the language of ${\displaystyle \mathbf {K} }$ is finite the Fraïssé limit of ${\displaystyle \mathbf {K} }$ is ω-categorical if and only if ${\displaystyle \mathbf {K} }$ is uniformly locally finite.^[6] If ${\displaystyle \mathbf {K} }$ is uniformly locally finite, then the Fraïssé limit of ${\displaystyle \mathbf {K} }$ has quantifier elimination.^[6]

If the language of ${\displaystyle \mathbf {K} }$ is finite, and consists only of relations and constants, then ${\displaystyle \mathbf {K} }$ is uniformly locally finite automatically.

For example, the class of finite dimensionalvector spaces over a fixed field is always a Fraïssé class, but it is uniformly locally finite only if the field is finite. The class of finite Boolean algebras is uniformly locally finite, whereas the classes of finite fields of a given characteristic, or finite groups or abelian groups, are not, as 1-generated structures in these classes may have arbitrarily large finite size.

• Structural Ramsey theory
• Hrushovski construction