合併財産

モデル理論という数学の分野において、融合特性とは、特定の条件下で、集合内の 2 つの構造がより大きな構造のサブ構造とみなせることを保証する 構造の集合の特性です。

この特性は、可算な均質構造の時代として生じる有限構造のクラスを特徴付ける フレセの定理において重要な役割を果たします。

融合特性の図は、数理論理学の多くの分野で登場します。例としては、様相論理における近親アクセス可能性関係^{[説明が必要]や、}ラムダ計算におけるチャーチ・ロッサー特性を持つ簡約方法などがあります。

アマルガムは、5組 ( A,f,B,g,C )として正式に定義することができ、 A、B、C は同じシグネチャを持つ構造であり、f: A  →  B、 g :  A  →  Cは埋め込みです。 f: A  →  Bが埋め込みであるとは、f がAからBの部分構造f(A)への同型を誘導する入射射である場合を思い出してください。^[1]

構造のクラスKは、A、B、C  ∈  KかつA ≠ Øであるすべてのアマルガムに対して 、構造D  ∈  Kと埋め込みf':  B  →  D、g':  C  →  Dの両方が存在し、

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g.\,}$

のモデルのクラスが融合特性を持つ場合、一階理論は融合特性を持ちます。融合特性は、量指定子の除去と特定の関係があります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

一般に、融合性は、射のクラス（埋め込みの代わりに）を指定したカテゴリに対して考えることができます。この概念は、特に強い融合性（以下を参照）に関連して、プルバックのカテゴリカルな概念に関連しています。 ^[2]

• 埋め込みが単射関数である集合のクラス。埋め込みが包含であると仮定すると、アマルガムは単に 2 つの集合の和集合になります。
• 埋め込みが単射準同型であり、(包含であると仮定して)アマルガムである自由群のクラスは商群 であり、ここで * は自由積です。${\displaystyle B*C/A}$
• 有限線形順序のクラス。これは、任意の同次構造が有限構造の融合クラスから得られるという事実による。 ^[3]

融合特性と似ているが異なる概念が、結合埋め込み特性です。違いを確認するには、まず、線形順序を持つ 3 つのモデル (サイズ 1 のL _{1 、サイズ 2 の}L ₂、サイズ 3 のL _{3 ) を含むクラス}K (または単にセット)について考えます。このクラスKには、 3 つのモデルすべてをL ₃に埋め込むことができるため、結合埋め込み特性があります。ただし、K には融合特性はありません。これに対する反例は、単一の要素eを含むL _{1から始まり、} e が最小となる方法とeが最大となる方法で 2 つの異なる方法でL _{3に拡張されます。ここで、これら 2 つの拡張からの埋め込みを持つ共通モデルは、} eの両側に 2 つの要素が存在するように、少なくともサイズが 5 である必要があります。

ここで、代数的に閉じた体のクラスを考えてみましょう。このクラスは、素体の任意の 2 つの体拡大を共通の体に埋め込むことができるため、融合特性を持ちます。ただし、体の 特性が異なる場合、任意の 2 つの体を共通の体に埋め込むことはできません。

構造のクラスKは、A、B、C ∈ Kのすべてのアマルガムに対して、構造D ∈ Kと埋め込みf': B  →  D、g': C  →  Dの両方が存在し、次のようになる 場合、強い融合特性（SAP）を持ちます。これは、分離融合特性（DAP）とも呼ばれます。

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g\,}$

そして

${\displaystyle f'[B]\cap g'[C]=(f'\circ f)[A]=(g'\circ g)[A]\,}$

ここで任意の集合XとX上の関数hに対して、

${\displaystyle h\lbrack X\rbrack =\lbrace h(x)\mid x\in X\rbrace .\,}$

• スパン（カテゴリー理論）
• プッシュアウト（カテゴリー理論）
• ジョイント埋め込みプロパティ
• フレッセの定理

• ホッジス、ウィルフリッド（1997）。短縮モデル理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58713-1。
• 代数構造のクラスのオンライン データベースにおける融合特性と強い融合特性に関するエントリ (チャップマン大学、数学およびコンピューター サイエンス学部)。
• EW Kiss、L. Márki、P. Pröhle、W. Tholen、「カテゴリカル代数的性質。融合、合同拡張、エピモーフィズム、残余小数点数、単射性に関する概要」、Studia Sci. Math. Hungar 18 (1)、79-141、1983年全ジャーナル号。
• マクファーソン、ドナルド (2011)、「均質構造の調査」、離散数学、311 (2): 1599–1634、doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024。