世襲セット

集合論において、遺伝的集合（または純粋集合）とは、その要素がすべて遺伝的集合である集合のことである。つまり、集合のすべての要素はそれ自体が集合であり、その要素のすべての要素も集合であり、以下同様である。

例えば、空集合が遺伝的集合であることは自明の理であり、したがって集合は${\displaystyle \{\varnothing \}}$空集合のみを含む${\displaystyle \varnothing }$は遺伝的集合です。同様に、集合は${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}}$2つの要素、すなわち空集合と空集合のみを含む集合を含む集合は、遺伝的集合である。

フォン・ノイマン宇宙で解釈されることを意図した、あるいはツェルメロ＝フレンケル集合論の内容を表現することを意図した集合論の定式化においては、すべての集合は遺伝的である。なぜなら、集合の要素になり得る唯一の種類の対象は、別の集合だからである。したがって、遺伝的集合の概念は、ウレレメントが存在する可能性がある文脈においてのみ興味深いものとなる。

遺伝的集合の帰納的定義は、集合のメンバーシップが正則性公理を満たしていることを前提としている（つまり、正則性の公理を満たしている）。そうでなければ、再帰式は一意解を持たない可能性がある。しかし、帰納的ではない方法で次のように言い換えることができる。集合が遺伝的であるのは、その推移閉包が集合のみを含む場合に限る。このようにして、遺伝的集合の概念は、集合が自身をメンバーとすることができる非正則集合論にも拡張できる。例えば、自身のみを含む集合は遺伝的集合である。

• 遺伝的に可算な集合
• 遺伝的に有限な集合
• 根拠のあるセット

• クネン、ケネス（1980）。集合論：独立性証明入門。ノースホランド。ISBN 0-444-85401-0。