アーベルの定理

数学において、アーベルの冪級数の定理は、冪級数の極限をその係数の和と関連付けるものである。これは、1826年にそれを証明したノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんで名付けられた。^{[ 1 ]}

テイラーシリーズ$${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$実数係数を持つべき 級数である${\displaystyle a_{k}}$数列が $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$$収束する。${\displaystyle G(x)}$左側から連続しています${\displaystyle x=1,}$つまり、 $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$$

同じ定理は複素冪級数 にも当てはまる。$${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$$ ただし、${\displaystyle z\to 1}$単一のストルツセクター内に完全に収まる、つまり、開いた単位ディスクの領域で $${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$$ ある固定された有限${\displaystyle M>1}$この制約がなければ、極限は存在しない可能性がある。例えば、べき級数 $${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$$ 収束して${\displaystyle 0}$で${\displaystyle z=1,}$しかし、その形式の他の点の近くでは有界ではない${\displaystyle e^{\pi i/3^{n}},}$そのため、${\displaystyle z=1}$限界ではない${\displaystyle z}$開いているディスク全体では1になる傾向がある。

収束に注意${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$これは、べき級数の収束半径が${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$は少なくとも 1 であり、収束を保証します。${\displaystyle |z|<1}$。

また、一様極限定理により、${\displaystyle G(z)}$実閉区間上で連続である${\displaystyle [0,t]}$のために${\displaystyle t<1,}$収束円盤のコンパクト部分集合上での級数の均一収束により（ワイエルシュトラスのM検定による）。アーベルの定理により、さらに、すなわち、の制限が${\displaystyle G(z)}$に${\displaystyle [0,1]}$連続的である。

シュトルツセクター

シュトルツセクター${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$明示的な方程式を持つ$${\displaystyle y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}}$$そして、右側には様々な値に対するグラフが示されている。

セクターの左端は${\displaystyle x={\frac {1-M}{1+M}}}$右端は${\displaystyle x=1}$右端では、角度の円錐形になります。${\displaystyle 2\theta }$どこ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{M}}}$。

この定理の直接的な結果として、もし${\displaystyle z}$は、次の数列を満たす任意の非ゼロ複素数である。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$ 収束すると、次のことが導かれる。 $${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}G(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$ ここで、極限は下から取られる。

この定理は、無限大に発散する和にも適用できるように一般化することもできます。以下を参照してください。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\infty }$$ それから $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)\to \infty .}$$

しかし、級数が発散することだけが分かっていて、それが無限大に発散する以外の理由による場合、定理の主張は成り立たない可能性がある。例えば、次のべき級数を考えてみよう。 $${\displaystyle {\frac {1}{1+z}}.}$$

で${\displaystyle z=1}$このシリーズは${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ,}$しかし${\displaystyle {\tfrac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$

また、この定理は、以下の収束半径以外でも成り立つことに注意する。${\displaystyle R=1}$： させて $${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ 収束半径を持つべき級数とする${\displaystyle R>0,}$そして、級数が収束すると仮定すると${\displaystyle x=R.}$それから${\displaystyle G(x)}$左側から連続しています${\displaystyle x=R,}$つまり、 $${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}G(x)=G(R).}$$

アーベルの定理を用いると、収束することが証明できれば、多くの級数を閉じた形で評価することができます。例えば、次の数列を考えてみましょう。 $${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}.}$$ 合計${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$交代級数判定法により収束するので、対応する母関数にアーベルの定理を適用できます。${\displaystyle G_{a}(z)}$我々は得る $${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$$ 一様に収束する幾何級数を項ごとに積分することにより${\displaystyle [-z,0]}$;したがってシリーズ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$$ 収束して${\displaystyle \lim \limits _{z\to 1^{-}}G_{a}(z)=\ln 2}$アーベルの定理により。同様に、 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$ 収束して${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}.}$

${\displaystyle G_{a}(z)}$は数列の生成関数と呼ばれます。${\displaystyle a.}$アーベルの定理は、確率母関数などの実数値かつ非負の数列の母関数を扱う際にしばしば有用である。特に、ガルトン・ワトソン過程の理論において有用である。

出典：^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$そして${\displaystyle s_{n}=\left({\sum _{k=0}^{n}a_{k}}\right)-S\!.}$次に代入すると${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$そして、数列の簡単な操作（部分和）を実行すると、 $${\displaystyle G_{a}(z)=S+(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}.}$$

与えられた${\displaystyle \varepsilon >0,}$選ぶ${\displaystyle n}$十分に大きいので${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$すべての人々のために${\displaystyle k\geq n}$そして、次の点に注意してください。 $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$$ いつ${\displaystyle z}$与えられたストルツ角の範囲内にある。${\displaystyle z}$十分に近い${\displaystyle 1}$我々は持っています $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon ,}$$ となることによって${\displaystyle \left|G_{a}(z)-S\right|<(M+1)\varepsilon }$いつ${\displaystyle z}$十分に近い${\displaystyle 1}$そして、ストルツの視点から見ても。

主張を証明するために${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=+\infty }$、 させて${\displaystyle x\in (0,1)}$そして${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$。 以来${\displaystyle (s_{k})_{k}}$分岐して${\displaystyle +\infty }$あらゆる${\displaystyle M\in \mathbb {R} _{+}}$、${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$そのため${\displaystyle s_{k}>3M}$すべての人々のために${\displaystyle k\geq N}$私たちは、${\displaystyle n>N}$: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\left[{(1-x)\sum _{k=0}^{N-1}s_{k}x^{k}}\right]+\left\{{(1-x)\left[{\sum _{k=N}^{n-1}s_{k}x^{k}}\right]+s_{n}x^{n}}\right\}}$$ 右辺の最初の項は次のように消えます${\displaystyle x\to 1}$見つけることができる${\displaystyle x_{1}\in (0,1)}$それは超える${\displaystyle -M}$いつでも${\displaystyle x_{1}<x<1}$第2項は次のように推定できます。 $${\displaystyle (1-x)\left[{\sum _{k=N}^{n-1}s_{k}x^{k}}\right]+s_{n}x^{n}>3M\left\{{(1-x)\left[{\sum _{k=N}^{n-1}x^{k}}\right]+x^{n}}\right\}=3Mx^{N}.}$$ したがって、${\displaystyle x_{2}=(2/3)^{1/N}}$では、${\displaystyle x_{2}<x<1}$これは超えています${\displaystyle 2M}$組み合わせると、任意の${\displaystyle n>N}$そして${\displaystyle \max(x_{1},x_{2})<x<1}$: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}>M.}$$ これにより、以下が確立されます。 $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\liminf _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=+\infty }$$

追加の仮定がない場合、シリーズは${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$収束しない可能性がある場合${\displaystyle |x|<1}$そのため、下限が用いられる。

アーベルの定理のような定理の逆は、タウバー型定理と呼ばれます。厳密な逆は存在しませんが、何らかの仮定に基づいた結果が得られます。発散級数とその総和法の分野には、アーベル型とタウバー型の定理が数多く存在します。

実際のケースでは、関数${\displaystyle x^{k}}$有界な非負関数に置き換えることができる${\displaystyle u_{k}(x)}$単調減少${\displaystyle k}$（つまり、${\displaystyle u_{k}(x)\geq u_{k+1}(x)}$) のように${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}u_{k}(x)=1}$すべての人々のために${\displaystyle k}$[ ^{3 ]これは、}アーベルの一様収束判定法と一様極限定理の適用から導かれる。

• アーベルの総和公式– 部分積分法によるアーベル法の部分総和法 
• ナッハビン再和定理– 解析関数の成長率を制限する定理 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 部分和法– 数列の積の和を簡略化する定理 

• アールフォース、ラース・ヴァレリアン（1980年9月1日）。複素解析（第3 版）。マグロウヒル高等教育。41 ～ 42ページ。ISBN  0-07-085008-9。- アールフォルスはそれをアーベルの極限定理と呼んだ。

• ウィテカー、ET; ワトソン、GN (2021).現代解析学教程（第5 版）. ケンブリッジ大学出版局.

• PlanetMathのアーベル総和可能性。（この種のアーベル定理に関するより一般的な考察）
• AA ザハロフ (2001) [1994]、「アーベル総和法」、数学百科事典、EMS Press
• ワイススタイン、エリック・W. 「アーベルの収束定理」 . MathWorld .