アレクセイ・ポゴレロフ

アレクセイ・ヴァシリエヴィチ・ポゴレロフ（ロシア語：Алексе́й Васи́льевич Погоре́лов、ウクライナ語：Олексі́й Васи́льович Погорє́лов、1919年3月3日 - 2002年12月17日）はソビエト連邦 の数学者。凸^{[1] [2] [3]}と微分幾何学、幾何偏微分方程式、弾性殻理論の分野の専門家であり、幾何学の新しい教科書や解析幾何学、微分幾何学、幾何学の基礎に関する 大学の教科書の著者である。

ポゴレロフの一意性定理とアレクサンドロフ・ポゴレロフの定理は彼にちなんで名付けられました。

彼はコロチャの農民の家庭に生まれた。1931年、集団化のため、ポゴレロフの両親は村からハリコフに逃げ、そこで父親はハリコフのトラクター工場の建設労働者となった。1935年、ポゴレロフはハリコフ国立大学の数学オリンピックで一等賞を受賞した。1937年に高校を卒業した後、彼はハリコフ国立大学の数学科に入学した。彼はその学科で一番の生徒だった。

1941年、ソ連が第二次世界大戦に参戦した後、ポゴレロフは11か月間の研究のためにニューヨークのジュコーフスキー空軍工学アカデミーに送られました。在学中、学生たちは定期的に数か月間、航空サービスの技術者として前線に送られました。モスクワ近郊で赤軍がナチスに勝利した後、訓練は1学期にわたって続きました。アカ​​デミー卒業後、彼はニューヨークのジュコーフスキー中央航空流体力学研究所（TsAGI）で設計技師として働きました。

大学教育を修了し、職業的に幾何学を専攻したいという願望が、ポゴレロフをモスクワ国立大学へと導きました。IG ペトロフスキー (力学数学学部長) と著名な幾何学者 VF カガンの推薦により、ポゴレロフは、非滑らかな凸面理論の創始者であるAD アレクサンドロフと出会いました。この理論に関しては多くの新しい疑問がありました。アレクサンドロフは、その 1 つに対する答えをポゴレロフに提示することを提案しました。1 年で問題は解決し、ポゴレロフはモスクワ国立大学力学数学部大学院に入学しました。ニコライ エフィモフが、アレクサンドロフ理論に関する彼の科学顧問になりました。1947 年に博士論文を審査した後、彼は復員してハリコフに移り、ハリコフ国立大学数学研究所と同大学の幾何学部で働き始めました。 1948年に博士論文を審査。1951年にウクライナ科学アカデミー通信会員、1960年にソ連科学アカデミー（物理・数学部門）通信会員。1961年にウクライナ科学アカデミー会員。1976年にソ連科学アカデミー（数学部門）会員。1950年から1960年までハリコフ国立大学の幾何学部門長。1960年から2000年までウクライナ国立科学 アカデミーのヴェルキン低温物理工学研究所の幾何学部門長。

2000年よりモスクワに住み、ステクロフ数学研究所で働いていた。

彼は2002年12月17日に亡くなり、モスクワのニコロ・アルハンゲリスク墓地に埋葬された。

20 世紀初頭までに、正則面に関する局所的な問題を解く方法が開発されました。30 年代までに、幾何学の問題を「大規模に」解く方法が開発されました。これらの方法は、主に偏微分方程式の理論に関連していました。表面が滑らかでない場合 (たとえば、円錐状の点、リブ状の点など)、および内部幾何学が滑らかな正定値 2 次形式ではなく、かなり一般的な形式の計量空間によってのみ与えられる場合、数学者は無力でした。非滑らかな計量と非滑らかな表面の研究における画期的な進歩は、傑出した幾何学者 AD アレクサンドロフによってもたらされました。彼は、非負曲率の計量空間、いわゆるアレクサンドロフ計量空間の理論を開発しました。特別なケースとして、理論は一般的な凸面、つまり凸体の境界の内在幾何学をカバーしました。アレクサンドロフは、一般的な凸面の内在的幾何学と外在的幾何学の関係を研究しました。彼は、2 次元球面上に与えられた非負曲率のあらゆる計量 (滑らかでない計量、いわゆる内部計量を含む) が、閉じた凸面の形で 3 次元ユークリッド空間に等長的に浸漬できることを証明しましたが、次の基本的な質問に対する答えは不明でした。

1. この浸漬は剛体運動に特有のものでしょうか?
2. 球面上に与えられた計量が正則で正のガウス曲率である場合、この計量を持つ表面は正則であるというのは本当ですか?
3. G. ミンコフスキーは、この関数に関するある自然な条件下で単位法線の関数として与えられたガウス曲率を持つ閉じた凸面の存在定理を証明しました。未解決の疑問は、関数が球面上で正則である場合、その面自体は正則であるか、というものでした。

これらの問題を解決した後、アレクサンドロフによって作成された理論は数学の「完全な市民権」を獲得し、古典的な正則なケースにも適用できるようになります。これら3つの質問のそれぞれにポゴレロフが肯定的に答えました。彼は総合的な幾何学的方法を使用して、モンジュ-アンペール方程式の解の事前評価を得るための幾何学的方法を開発しました。一方では、これらの方程式を使用して幾何学的な問題を解決し、他方では、幾何学的な理由に基づいて、モンジュ-アンペール方程式の一般化された解を構築し、方程式の正則な右辺に対するその正則性を証明しました。実際、これらの先駆的な研究で、ポゴレロフは幾何学的解析の分野の基礎を築きました。彼は次の基本的な結果を証明しました。

1. F ₁とF _{2 を}、3 次元ユークリッド空間または球面空間内の 2 つの閉じた凸等長面とします。このとき、これらの面は剛体運動まで一致します。
2. 一定曲率の空間内の閉じた凸面は、その上の平坦な領域以外では剛性を持ちます。つまり、その面はごくわずかな曲げしか許されません。
3. 凸面の計量が定曲率К*の空間において正則性Ск、k≥2であり、曲面のガウス曲率がК>К*を満たす^場合、その曲面はСк ^-1,αである。

凸面上の領域の場合、主張 1) と 2) は誤りです。表面のローカル プロパティとグローバル プロパティは大きく異なります。主張 1) を証明することで、ポゴレロフは 1 世紀以上も未解決だった問題の解決法を完成させました。この方向での最初の結果は、1813 年にコーシーによって閉じた凸多面体に対して得られました。

ポゴレロフが証明した定理は、薄いシェルの非線形理論の基礎となりました。この理論は、元の形状と比較して大幅に異なるシェルの弾性状態に関するものです。このような変形では、薄いシェルの中央の表面は、測定基準を維持しながら曲がります。これにより、凸面に対してポゴレロフが証明した定理を使用して、所定のひずみ下での凸面シェルの安定性の喪失と過臨界弾性状態を調査することが可能になります。このようなシェルは、現代の設計の最も一般的な要素です。

結果 1) と 2) は、リーマン空間の正則曲面に対して一般化されました。さらに、リーマン空間のワイル問題も解決されました。つまり、 2 次元球面上のある定数cより大きいガウス曲率の正則計量は、正則曲面の形で曲率<cの完全な 3 次元リーマン空間に等長的に浸漬できることが証明されました。この結果の証明で開発された手法を研究して、アーベル賞受賞者のM. グロモフは、現代のシンプレクティック幾何学の主なツールである擬正則曲線の概念を導入しました。

閉じた凸超曲面は、計量だけでなく、単位法線の関数としてのガウス曲率によっても一意に定義されます。さらに、超曲面は平行移動まで一意に決定されます。これは G. Minkowski によって証明されました。しかし、ガウス曲率K(n)が単位法線の正則関数であるという条件下で、超曲面は正則でしょうか? Pogorelov は、正関数K(n)がクラスС ^k、k≥3に属する場合、サポート関数は正則クラスС ^k+1,v、0<v<1になることを証明しました。

定理の証明で最も難しい部分は、超曲面のサポート関数の導関数を3次まで包括的に事前評価することであった。ポゴレロフの事前評価法は、S.-T.ヤウによって、複素モンジュ・アンペール方程式の解の事前評価を得るために使用された。これは、理論物理学で重要な役割を果たすカラビ・ヤウ多様体の存在を証明する主要なステップであった。モンジュ・アンペール方程式は、次の形式を持つ。

${\displaystyle \det(z_{ij})=f(x_{1},\dots ,x_{n},z,z_{1},\dots ,z_{n}).}$

ミンコフスキー問題における事前推定は、関数

${\displaystyle f={\frac {1}{K(1+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{{\frac {n}{2}}+1}}}.}$

当時、この完全に非線形な方程式を研究する方法はありませんでした。AVポゴレロフは、幾何学的手法を使用してモンジュ・アンペール方程式の理論を作成しました。まず、多面体から始めて、右側の自然な条件下での一般化解の存在を証明しました。その後、正則解に対して 3 次までの導関数の事前推定値を見つけました。事前推定を使用して、厳密に凸解の正則性、ディリクレ問題の解の存在とその正則性を証明しました。モンジュ・アンペール方程式は、モンジュ・カントロビッチ輸送問題の重要な構成要素であり、共形幾何学、アフィン幾何学、ケーラー幾何学、気象学、金融数学で使用されます。ポゴレロフはかつてモンジュ・アンペール方程式について次のように述べています。「これは私が光栄にも取り組んだ偉大な方程式です。」

ポゴレロフの最も概念的な研究の 1 つは、有界外部曲率の滑らかな表面に関する一連の研究に言及しています。AD アレクサンドロフは、リーマン多様体を自然に一般化する一般計量多様体の理論を作成しました。特に、彼は有界曲率の 2 次元多様体のクラスを導入しました。それらは、各点の近傍で、総体的に有界な絶対積分曲率 (つまり、ガウス曲率のモジュールの積分) を持つリーマン計量による一様近似を許容する、すべての計量化された 2 次元多様体のクラスを網羅しています。

当然、このような計量を持ち、その計量と表面の外部幾何学との間の接続が保存される 3 次元ユークリッド空間の面のクラスについての疑問が生じました。この疑問に部分的に答えるために、ポゴレロフは、球面像の領域が境界で囲まれるという要件を伴い、表面の各点の近傍における被覆の多重度を考慮に入れたC ¹滑らかな面のクラスを導入しました。このような面は、境界付き外部曲率の面と呼ばれます。

このような表面の場合、表面の固有の幾何学的形状とその外部形状の間にも非常に密接な関係があります。つまり、有界な外部曲率と非負の固有曲率 (ゼロに等しくない) を持つ完全な表面は、閉じた凸面または無界な凸面のいずれかです。固有曲率がゼロで、有界な外部曲率を持つ完全な表面は円筒です。

AV ポゴレロフによる有界な外在曲率の曲面に関する最初の研究は 1953 年に発表されました。1954 年に J. ナッシュがC ¹等長浸漬に関する論文を発表し、これは 1955 年に N. カイパーによって改良されました。これらの研究から、2 次元多様体上で定義されたリーマン計量は、非常に一般的な仮定の下で、 3 次元ユークリッド空間のC ¹滑らかな曲面上で実現できることがわかります。さらに、この実現は、計量が与えられた多様体の空間への位相浸漬と同じくらい自由に実行されます。したがって、C ¹曲面の場合、たとえ優れた内在計量があっても、内在曲率と外在曲率の間の接続を維持することは不可能であることは明らかです。C ¹曲面が正のガウス曲率の正規計量を持つ場合でも、これは曲面の局所的な凸性を意味するものではありません。これは、ポゴレロフによって導入された境界付き外部曲率の曲面のクラスの自然さを強調しています。

ポゴレロフは、 1900年にパリで開催された第2回国際数学者会議でD.ヒルベルトが提起したヒルベルトの第4問題を解いた。彼は、角度の概念を含む合同公理を省略し、これらのシステムに「三角形の不等式」の公理を追加することで、同型性まで含めて、古典幾何学（ユークリッド、ロバチェフスキー、楕円）の公理系の実現をすべて見つけた。

ポゴレロフは、超伝導界磁巻線を備えた極低温タービン発電機の構造に関する新しいアイデアを（1970 年に）最初に提案した人物の 1 人であり、技術計算や対応する工業サンプルの作成に積極的に参加しました。

2015年、ハリコフの通りの一つがポゴレロフにちなんで命名された。

2007 年、ウクライナ国立科学アカデミーは幾何学と位相幾何学の分野における功績に対してポゴレロフ賞を設立しました。

小惑星の1つはポゴレロフにちなんで名付けられました: (19919) Pogorelov  [fr]。

• 凸面理論に関する研究に対して第2級スターリン賞（1950年）を受賞。論文「凸面の一意的な定義」および「ソ連科学アカデミー紀要」（1948-1949年）に掲載された一連の論文で発表された。
• レーニン賞（1962年） - 大規模な幾何学における成果に対して
• ロバチェフスキー賞(1959) - 論文「大きなリーマン空間における幾何学に関するいくつかの問題」に対して
• ウクライナソ​​ビエト社会主義共和国科学アカデミーのクリロフ賞（1973年）
• ウクライナソ​​ビエト社会主義共和国国家賞（1974年）
• ウクライナ国立科学アカデミーNNボゴルボフ賞（1998年）
• ウクライナ国家賞（2005年）
• レーニン勲章2つ
• 労働赤旗勲章
• 祖国戦争勲章、第2級（1985年4月6日）

• 楕円空間の曲面理論に関する話題。ゴードン＆ブリーチ。1961年。
• 凸面の外在的幾何学。AMS 。 1973年。
• ミンコフスキー多次元問題。VH ウィンストン。1978 年。^[4]
• ヒルベルトの第4問題。VHウィンストン。1979年。^[5]
• 表面の曲げとシェルの安定性。AMS。1988年。
• Busemann 正則 G 空間。Harwood。1999 年。
• 幾何学 [ロシア語からレオニード・レヴァント、アレクサンドル・レピエフ、オレグ・エフィモフによる翻訳]。モスクワ：ミール出版社（1987年）。ISBN 0714725536。ISBN 978-0714725536。  

• コーシーの定理

出典

• アレクサンドロフ, 広告塔;ボリセンコ、AA;ザルガラー, バージニア州;マルチェンコ, バージニア州;マスロフ、KV;ミルカ、広告塔。ノビコフ, ブラジル;レシェトニャク、ユウ。 G. ;スクリプニク 4 世。フルスロフ、E.Ya。 （1999年）。 「アレクセイ・ヴァシレーヴィチ・ポゴレロフ（80歳の誕生日を機に）」。ロシアの数学的調査。54 (4): 869–872。土井：10.1070/RM1999v054n04ABEH000201。
• バージニア州アレクサンドロフ。アーノルド, VI ;ボリセンコ、AA;ボリソフ、ユウ。 F.;ザルガラー, バージニア州; Kutateladze, サウスカロライナ州;マルチェンコ, バージニア州;ミルカ、広告塔。レシェトニャク、ユウ。 G. ;サビトフ、I.Kh。 （2003年）。 「アレクセイ・ヴァシレーヴィチ・ポゴレロフ（死亡記事）」。ロシアの数学的調査。58 (3): 593–596。Bibcode :2003RuMaS..58..593A。土井：10.1070/RM2003v058n03ABEH000638。
• Borisenko, AA (2006). 「 Alekseí Vasil'evich Pogorelov – 驚くべき力を持つ数学者」。Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry (ロシア語)。2 (3): 231–267。MR  2249081。Zbl 1157.53302  。英語訳: — (2008). 「驚異的な力を持つ数学者、アレクセイ・ヴァシリエヴィチ・ポゴレロフ」. arXiv : 0810.2641 [math.DG].
• Borisenko, AA; Vesnin, A. Yu.; Ivochkina, NM (2019). 「アレクセイ・ヴァシリエヴィチ・ポゴレロフ生誕100周年に寄せて」.ロシア数学概論. 74 (6): 1135–1157. Bibcode :2019RuMaS..74.1135B. doi :10.1070/RM9926.

• 数学系譜プロジェクトのアレクセイ・ポゴレロフ
• ポゴレロフと彼の作品に特化したウェブサイト
• 経歴 – B. バーキン低温物理工学研究所
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「アレクセイ ポゴレロフ」、MacTutor 数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学