ザリスキの主定理

代数幾何学において、オスカー・ザリスキ(1943)によって証明されたザリスキの主定理は、多様体の任意の正規点には枝が 1 つだけ存在すると大まかに述べた、双有理射の構造に関する命題である。これは、 2 つの多様体が双有理である場合のザリスキの連結性定理の特殊なケースである。

ザリスキの主定理は、一見全く異なるように見えるが、実際には深く関連しているいくつかの方法で表現できます。ザリスキの主定理と呼ばれているバリエーションのいくつかは次のとおりです。

正規多様体への有限ファイバーを持つ双有理射は、開部分集合への同型である。
双有理写像の通常の基本点の全変換は正の次元を持ちます。これは本質的には Zariski のオリジナルバージョンです。
適切な双有理射の下での法線点の全変換は連結である。
グロタンディークによる一般化は、スキームの準有限射の構造を記述します。

可換代数のいくつかの結果は、ザリスキの主定理の幾何学的形式を示唆しており、これには以下が含まれます。

正規局所環は単枝であり、これは正規点の変換が連結であるというステートメントのバリエーションです。
多様体の正規点の局所環は解析的に正規である。これは、それが単枝であるという主張の強い形式である。

元の結果は、Zariski (1943) で「MAIN THEOREM」と名付けられました。

双有理射に対するザリスキの主定理

f を代数多様体VとWの双有理写像とします。fは、最初の因子への射影が開多様体との間の同型を誘導し、もU上の同型となるような、閉部分多様体（ fの「グラフ」）によって定義されることを思い出してください。 VにおけるUの補集合は基本多様体または不確定性軌跡と呼ばれ、によるVの部分集合の像はその 全変換と呼ばれます。 $\Gamma \subset V\times W$ $p_{1}$ $U\subset V$ $p_{1}^{-1}(U)$ $p_{2}\circ p_{1}^{-1}$ $p_{2}\circ p_{1}^{-1}$

(Zariski 1943、p. 522) の定理の元の記述は次のとおりです。

主定理: W がVとV ′ の間の双有理対応TのV上の既約基本多様体であり、 T がV ′上に基本要素を持たない場合、 V がWで局所正規であるという仮定の下で、変換T [ W ] の各既約成分はWよりも高次元になります。

ここで、T は本質的にV ′からVへの双有理的な射であり、W はTの逆が定義されておらず局所環が正規である集合の部分多様体であり、変換T [ W ] はV ′からVへの射によるWの逆像を意味します。

以下に、より最近の用語を使用して述べられたこの定理のいくつかのバリエーションを示します。Hartshorne (1977、Corollary III.11.4) は、次の連結性ステートメントを「Zariski の主定理」と呼んでいます。

f : X → Y がノイザン積分スキーム間の双有理射影写像である場合、 Yのすべての法点の逆像は連結されている。

次の定理 (定理 V.5.2、引用元) もこの名前で呼ばれます。

f : X → Y がYが正規である射影多様体の双有理変換である場合、 fの基本点の全変換は連結であり、次元は少なくとも 1 です。

例

Vが 1 より大きい次元の滑らかな多様体であり、V ′ がV上の点Wを爆破することによって与えられるとします。すると、V はWで正規であり、 Wの変換の成分は射影空間であり、これはザリスキの主定理の元の形式で予測されるように、 Wより大きい次元を持ちます。
前の例では、Wの変換は既約でした。変換上の他の点を拡張することで、全体の変換が既約になる例は簡単に見つかります。たとえば、V ′ がV上の点Wを拡張し、次にこの変換上の別の点を拡張することで与えられる場合、Wの全体の変換には、 1 つの点で交わる 2 つの既約な成分があります。Hartshorne の主定理の形式で予測されるように、全体の変換は連結されており、少なくとも 1 次元です。
Wが正規でなく、主定理の結論が成り立たない例として、 V ′ を滑らかな多様体とし、V をV ′上の 2 つの異なる点を特定することによって与え、W をこれらの 2 点の像とします。すると、W は正規でなくなり、 Wの変換は連結されておらず、正の次元を持たない 2 つの点から構成されます。

準有限射に対するザリスキの主定理

EGA III では、グロタンディークは連結性を含まない次の命題をザリスキ・グロタンディークの「主定理」(1961、定理 4.4.3) と呼んでいます。

f : X → Y がノイザンスキームの準射影写像である場合、ファイバー内で孤立している点の集合はX内で開集合となる。さらに、この集合の誘導スキームはY上で有限であるスキームの開集合と同型である。

EGA IV で、グロタンディークは最後のステートメントは準有限射の構造に関するより一般的な定理から演繹できることを指摘し、後者はしばしば「グロタンディークの形式のザリスキの主定理」と呼ばれます。開いた浸漬と有限射が準有限であることはよく知られています。グロタンディークは、分離性の仮説の下で、すべての準有限射がそのようなグロタンディークの合成であることを証明しました (1966、定理 8.12.6):

Y が準コンパクトな分離スキームであり、が分離された準有限の有限提示射である場合、への因数分解が存在し、ここで最初の写像は開浸漬であり、2 番目の写像は有限である。

f:X\to Y

X\to Z\to Y

準有限射に関するこの定理と、上で引用した EGA III の定理 4.4.3 との関係は、f : X → Y が多様体の射影射である場合、ファイバー内で孤立している点の集合はY上で準有限であるということです。すると、準有限射の構造定理が適用され、目的の結果が得られます。

可換環に対するザリスキの主定理

ザリスキ (1949) は、可換代数の観点から、局所環に関する記述として彼の主定理を再定式化した。グロタンディーク (1961、定理 4.4.7) は、ザリスキの定式化を次のように一般化した。

B が局所ノイザン環A上の有限型の代数であり、n がBの極大イデアルであり、これがAにおける逆像がAの極大イデアルmであるようなBのイデアルの中で極小である場合、極大イデアルm ′ (そのAにおける逆像はm ) を持つ有限A代数A ′ が存在し、そこで局所化B _{n は}A代数A ′ _m_′に同型となる。

さらに、AとB が整体であり、同じ分数体を持ち、Aが整閉である場合、この定理はAとBが等しいことを意味します。これは本質的に、ザリスキが彼の主定理を可換環の観点から定式化したものです。