ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理は、すべての有限可除環は体であると述べている。したがって、すべての有限整域は体である。言い換えれば、有限環においては、整域、可除環、体の間に区別はない。

アルティン・ゾルンの定理は、この定理を交代環に一般化したもの。すなわち、すべての有限交代除法環は体である。^{[ 1 ]}

1905年にジョセフ・ウェダーバーンが最初の証明を行い^{[ 2 ]} 、その後、彼はさらに2つの方法でこの定理を証明した。ウェダーバーンの最初の証明の直後にレナード・ユージン・ディクソンが別の証明を行い、ディクソンはウェダーバーンの優先権を認めた。しかし、 (パーシャル 1983 )で指摘されているように、ウェダーバーンの最初の証明は誤りであり、欠陥があった。そして、彼のその後の証明は、ディクソンの正しい証明を読んだ後にのみ発表された。このことから、パーシャルは、最初の正しい証明はディクソンによるものであるべきだと主張している。

証明の簡略版は後にエルンスト・ヴィットによって与えられた。^{[ 2 ]}ヴィットの証明の概要を以下に示す。あるいは、この定理は、次の議論によってスコレム・ネーターの定理から導かれる。 ^{[ 3 ]}としよう${\displaystyle D}$中心が有限除法代数である${\displaystyle k}$。 させて${\displaystyle [D:k]=n^{2}}$そして${\displaystyle q}$の濃度を表す${\displaystyle k}$. のあらゆる極大部分体${\displaystyle D}$もっている$\displaystyle q^{n}}$要素であるため、それらは同型であり、したがってスコレム・ネーターの法則により共役である。しかし有限群（乗法群）${\displaystyle D}$（我々のケースでは）は真部分群の共役の和集合にはなり得ない。したがって、${\displaystyle n=1}$。

後に「群論的」証明がテッド・カジンスキーによって1964年に与えられた。^{[ 4 ]} この証明はカジンスキーが初めて発表した数学論文であり、2ページの短いメモで、以前の歴史的な証明も認めていた。

この定理は本質的に、有限体のブラウアー群が自明であると言っているのと同等である。実際、この特徴付けから、次の定理の証明がすぐに得られる。K を有限体とする。ヘルブランド商は有限性によりゼロになるため、${\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}$と一致する${\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}$ヒルベルト90によって、それは消滅する。

ブラウアー群の自明性は、以下のように直接計算によっても得られる。${\displaystyle |K|=q,}$そして${\displaystyle L/K}$次数が有限である${\displaystyle n,}$となることによって${\displaystyle |L|=q^{n}.}$それから${\displaystyle \mathrm {ガル} (L/K)}$位数 の巡回群である${\displaystyle n,}$また、有限巡回群のコホモロジーを計算する標準的な方法によれば、 $${\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}$$ ノルムマップ$\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}$は $${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$$ 取${\displaystyle \alpha }$巡回群の生成子となる${\displaystyle L^{\times },}$我々は、${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$順序がある${\displaystyle q-1,}$したがって、それはジェネレーターでなければならない$\displaystyle K^{\times }}$これは、${\displaystyle N_{L/K}}$は全射であり、したがって ${\displaystyle H^{2}(L/K)}$些細なことだ。

させて${\displaystyle A}$有限領域とする。各非ゼロに対して${\displaystyle b}$で${\displaystyle A}$2つの地図

${\displaystyle a\mapsto ab,a\mapsto ba:A\to A}$

は相殺性質により単射であり、したがって計数により全射である。初等群論^{[ 5 ]}から 、の非零要素は${\displaystyle A}$乗法の下でグループを形成する。したがって、${\displaystyle A}$分割環です。

中心部から${\displaystyle Z(A)}$の${\displaystyle A}$ はフィールドです。 ${\displaystyle A}$はベクトル空間である${\displaystyle Z(A)}$有限次元${\displaystyle n}$我々の目的は、 ${\displaystyle n=1}$。 もし${\displaystyle q}$の順序は${\displaystyle Z(A)}$、 それから${\displaystyle A}$順序がある$\displaystyle {q}^{n}}$。注意すべき点は、${\displaystyle Z(A)}$異なる要素を含む${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$、${\displaystyle q>1}$.各${\displaystyle b}$で${\displaystyle A}$中心にない、中央装置${\displaystyle {Z}_{b}}$の${\displaystyle b}$はベクトル空間である${\displaystyle Z(A)}$したがって、それは秩序を持つ$\displaystyle {q}^{d}}$どこ${\displaystyle d}$より小さい${\displaystyle n}$閲覧${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$、${\displaystyle A^{*}}$、 そして${\displaystyle {Z}_{b}^{*}}$乗法の下でのグループとして、クラスの方程式を書くことができます

$\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

ここで、和は、に含まれない共役類について取られる。${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$、そして${\displaystyle d}$各共役類について、${\displaystyle {Z}_{b}^{*}}$いかなる場合でも${\displaystyle x}$クラスでは$\displaystyle {q}^{d}-1}$特に、${\displaystyle {Z}_{b}^{*}}$は、${\displaystyle A^{*}}$意味するところは$\displaystyle q^{d}-1$分ける$\displaystyle q^{n}-1$そこから${\displaystyle d}$分ける${\displaystyle n}$初等代数によって。

$\displaystyle {q}^{n}-1}$そして$\displaystyle q^{d}-1$どちらも円分多項式による多項式分解が可能である${\displaystyle \Phi _{f}(q)}$円分多項式${\displaystyle \mathbb {Q} }$は${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$、そして以下の恒等式を満たす

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m\mid n}\Phi _{m}(x)}$そして${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m\mid d}\Phi _{m}(x)}$。

それぞれが${\displaystyle d}$は の真の約数である${\displaystyle n}$、

$\displaystyle \Phi _{n}(x)$両方を分ける${\displaystyle {x}^{n}-1}$そしてそれぞれ${\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}$で${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$、

したがって、上記のクラス方程式により、${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$分割しなければならない${\displaystyle q-1}$したがって、規範を採用することで、

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$。

この力が${\displaystyle n}$である${\displaystyle 1}$我々は、

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

のために${\displaystyle n>1}$複素数上の因数分解を用いる。多項式の恒等式において

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}$

どこ${\displaystyle \zeta }$原始的なものの上を走る${\displaystyle n}$1の-乗根、セット${\displaystyle x}$である${\displaystyle q}$そして絶対値を取る

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}$

のために${\displaystyle n>1}$各プリミティブについて、${\displaystyle n}$1の-乗根${\displaystyle \zeta }$、

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

場所のせい${\displaystyle q}$、${\displaystyle 1}$、 そして${\displaystyle \zeta }$複素平面において。${\displaystyle q\geq 2}$、 用語${\displaystyle q-1}$少なくとも${\displaystyle 1}$。 したがって

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$

• Parshall, KH (1983). 「有限除法代数定理の追求とその先へ：ジョセフ・H・M・ウェダーバーン、レナード・ディクソン、オズワルド・ヴェブレン」『国際科学史アーカイブ』33 : 274–99。
• ラム、ツィットユエン（2001）。非可換環入門。大学院数学テキスト。第 131巻（第2 版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-95183-0。

• Planet Mathにおけるウェダーバーンの定理の証明
• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38