ヴィヴィアーニの定理

ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニにちなんで名付けられたヴィヴィアーニの定理は、正三角形の内部の任意の点からその辺までの最短距離の合計は、三角形の高さの長さに等しいと述べています。^[1]これは、さまざまな数学コンテストや中等学校の数学の試験で一般的に採用されている定理であり、現実世界の多くの問題に広く適用できます。

この証明は、三角形の面積は底辺と高さの半分、つまり一辺とその辺からの高さの積の半分であるという、簡単に証明できる命題に依存しています。 ^[2]

ABC を高さがh、辺がaの正三角形とします。

P を三角形内の任意の点とし、s、t、u をP の各辺からの垂直距離とします。P から A、B、C のそれぞれに線を引き、3 つの三角形 PAB、PBC、PCA を形成します。

さて、これらの三角形の面積は、、およびです。これらはちょうど外接三角形を埋め尽くすので、これらの面積の合計は外接三角形の面積に等しくなります。したがって、次のように書くことができます。 ${\displaystyle {\frac {u\cdot a}{2}}}$${\displaystyle {\frac {s\cdot a}{2}}}$${\displaystyle {\frac {t\cdot a}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}}$

そしてこうして

${\displaystyle u+s+t=h}$

QED

逆もまた成り立ちます。三角形の内点から辺までの距離の合計がその点の位置に依存しない場合、その三角形は正三角形です。^[3]

ヴィヴィアーニの定理は、正三角形の辺に平行な線が、可燃性図などの三角図を作成するための座標を与えることを意味します。

より一般的には、同じ方法で 正単体上の座標を与えることができます。

平行四辺形の任意の内部点から辺までの距離の合計は、その点の位置とは無関係である。逆もまた成り立つ。四辺形の内部の点から辺までの距離の合計が、その点の位置とは無関係である場合、その四辺形は平行四辺形である。^[3]

この結果は、反対側の辺が平行な任意の 2 n角形に一般化されます。反対側の平行な辺の任意のペア間の距離の合計は一定であるため、平行な辺のペア間のすべてのペアごとの合計も一定になります。逆は一般には当てはまりません。この結果は、反対側の辺が必ずしも平行であると は限らない正六角形に当てはまるためです。

多角形が正多角形（等角多角形と正三角形の両方）の場合、内部の点から各辺までの距離の合計は、その点の位置とは無関係です。具体的には、それはn×周長線に等しくなります。ここでnは辺の数、周長線は中心から各辺までの距離です。^{[3] [4]}しかし、逆は成り立ちません。正方形でない平行四辺形は反例です。 [ ^3]

等角多角形の内部点から各辺までの距離の合計は、その点の位置に依存しない。^[1]

凸多角形が任意の内部点から辺までの距離の合計が一定であるための必要かつ十分な条件は、距離の合計が等しい非共線内部点が3つ存在することである。^[1]

正多面体の内部の任意の点から辺までの距離の合計は、その点の位置に依存しません。しかし、逆は四面体であっても成り立ちません。^[3]

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• Weisstein, Eric W.「Viviani の定理」。MathWorld。
• 李周、ヴィヴィアーニ多面体とフェルマー点
• 「ヴィヴィアーニの定理とは何か？」結び目を切る。
• ウォーレンドルフ、ジェイ。 「ヴィヴィアーニの定理」。Wolframデモンストレーションプロジェクト。
• 「ヴィヴィアーニの定理のバリエーションといくつかの一般化」。インタラクティブな動的ジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches をご覧ください。
• Abboud, Elias (2017). 「ヴィヴィアーニの定理にヒントを得た点の軌跡」arXiv : 1701.07339 [math.HO].
• アームストロング、アディ、マックィラン、ダン (2017)。「特殊化、一般化、およびヴィヴィアーニの定理の新しい証明」。arXiv : 1701.01344 [ math.HO]。