ユニバーサルジョイント

ユニバーサルジョイント（ユニバーサルカップリングまたはUジョイントとも呼ばれる）は、軸が互いに傾斜している剛性シャフトを接続するジョイントまたはカップリングです。回転運動を伝達するシャフトによく使用されます。ユニバーサルジョイントは、互いに90°の角度で配置され、クロスシャフトで接続された一対のヒンジで構成されています。ユニバーサルジョイントは等速ジョイントではありません。^[1]

U ジョイントは、次のようにさまざまな同名の名称で呼ばれることもあります。

• カルダンジョイント。ジンバルを含む様々な巧妙なメカニズムの知識に貢献した16世紀の博学者、ジェロラモ・カルダーノにちなんで名付けられました。
• フックジョイントまたはフックのジョイント。17世紀の博学者で、さまざまな巧妙なメカニズムの知識に貢献したロバート・フックにちなんで名付けられました。
• スパイサージョイントは、Uジョイントを製造したクラレンス・W・スパイサーとスパイサー製造会社にちなんで名付けられました。
• ハーディ・スパイサー・ジョイント、ハーディ・スパイサー・ブランドにちなんで、スパイサー・ブランドの後継品

ユニバーサルジョイントの主な概念は、古代から使用されてきたジンバルの設計に基づいています。ユニバーサルジョイントの先駆けの1つは、古代ギリシャ人がバリスタに使用していたことです。^[2]ヨーロッパでは、ユニバーサルジョイントは、16世紀のイタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノにちなんで、カルダノジョイント（およびジョイントを使用する駆動シャフト、カルダンシャフト）と呼ばれることがよくあります。カルダーノはジンバルに関する初期の著作の著者ですが、彼の著作では、ユニバーサルジョイントではなく、ジンバルマウントについてのみ言及されています。^[3]

この機構は後にガスパール・ショットにより「Technica curiosa sive mirabilia artis（1664年）」で説明されたが、ショットはこれを等速ジョイントであると誤って主張した。^{[4] [5] [6]}その後まもなく、1667年から1675年の間に、ロバート・フックがこのジョイントを分析し、回転速度が不均一であることを発見したが、その特性を利用して日時計の表面に映る影の動きを追跡できる。^[4]実際、黄道に対する赤道面の傾きを説明する均時差の要素は、ユニバーサルジョイントの数学的説明と完全に類似している。この装置について「ユニバーサルジョイント」という用語が最初に記録に残ったのは、1676年のフックの著書「Helioscopes 」である。^{[7] [8] [9]}彼は1678年にその説明を出版し、^{[10]英語圏で}フックジョイントという用語が使われるようになった。1683年にフックはユニバーサルジョイントの不均一な回転速度に対する解決策を提案した。それは中間シャフトの両端に90°位相がずれた一対のフックジョイントで、現在では等速ジョイントの一種として知られている配置である。^{[4] [11]スウェーデンの}クリストファー・ポルヘムは後にユニバーサルジョイントを再発明し、スウェーデン語でポルヘムスクヌート（「ポルヘムの結び目」）という名前が生まれた。

1841年、イギリスの科学者ロバート・ウィリスはユニバーサルジョイントの動きを分析しました。 ^[12] 1845年までに、フランスのエンジニアで数学者のジャン＝ヴィクトル・ポンスレは、球面三角法を使用してユニバーサルジョイントの動きを分析しました。^[13]

ユニバーサルジョイントという用語は18世紀に使用され^[10]、19世紀には一般的に使用されていました。エドマンド・モアウッドが1844年に金属コーティング機の特許を取得した際、エンジンと圧延機のシャフト間の小さな位置合わせ誤差を吸収するために、その名前のユニバーサルジョイントが必要とされました。^[14]たとえば、エフライム・シェイが1881年に取得した機関車の特許では、機関車の駆動軸にダブルユニバーサルジョイントが使用されていました。^[15]チャールズ・アミドンは、 1884年に特許を取得したビットブレースで、はるかに小さなユニバーサルジョイントを使用しました。 ^[16] ボーチャムタワーの球状回転式高速蒸気エンジンは 、1885年頃にユニバーサルジョイントを改良したものを使用しました。^[17]

「カルダンジョイント」という用語は、英語では後から使われ始めたようです。19世紀初期の使用の多くはフランス語からの翻訳で現れたり、フランス語の使用法に強く影響を受けています。例としては、 1867年の万国博覧会に関する1868年の報告書^[18]や、 1881年にフランス語から翻訳された動力計に関する記事^{[19]などがあります。}

20 世紀には、クラレンス W. スパイサーとスパイサー マニュファクチャリング カンパニー、およびハーディ スパイサーの後継ブランドが、自動車、農業機械、重機、産業機械の各業界でユニバーサル ジョイントのさらなる普及に貢献しました。

カルダン ジョイントには、1 つの大きな問題があります。入力ドライブ シャフト アクスルが一定速度で回転している場合でも、出力ドライブ シャフト アクスルは可変速度で回転し、振動や摩耗が発生します。従動シャフトの速度の変化は、ジョイントの構成によって決まり、次の 3 つの変数によって指定されます。

1. ${\displaystyle \gamma_{1}}$車軸1の回転角度
2. ${\displaystyle \gamma_{2}}$車軸2の回転角度
3. ${\displaystyle \beta}$ジョイントの曲げ角度、または車軸同士の角度。ゼロは平行または直線になります。

これらの変数は、右の図に示されています。また、単位ベクトルとを持つ固定座標軸のセットと、各車軸の回転面も示されています。これらの回転面は回転軸に垂直で、車軸が回転しても動きません。2 つの車軸はジンバルによって結合されていますが、ジンバルは示されていません。ただし、車軸 1 は図の赤い回転面上の赤い点でジンバルに接続され、車軸 2 は青い面上の青い点でジンバルに接続されます。回転する車軸に対して固定された座標系は、x 軸単位ベクトル (および) が原点から接続点の 1 つを指すものとして定義されます。図に示すように、はx軸に沿った開始位置に対して角度をなしており、はy軸に沿った開始位置に対して角度をなしています。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$図の「赤い平面」に限定され、次の関係にあります。 ${\displaystyle \gamma_{1}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}=\left[\cos \gamma _{1}\,,\,\sin \gamma _{1}\,,\,0\右]}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$は図の「青い平面」に限定されており、 x軸上の単位ベクトルをオイラー角で回転させた結果です。 ${\displaystyle {\hat {x}}=[1,0,0]}$ ${\displaystyle [\pi \!/2\,,\,\beta \,,\,\gamma _{2}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}=\left[-\cos \beta \sin \gamma _{2}\,,\,\cos \gamma _{2}\, ,\,\sin \beta \sin \gamma _{2}\right]}$$

およびベクトルに対する制約は、ジンバルに固定されているため、互いに直角のままでなければならないということです。これは、それらのドット積がゼロに等しいときに当てはまります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}_{2}=0}$$

したがって、2 つの角度位置を関連付ける運動方程式は次のように表されます。

$${\displaystyle \tan \gamma _{1}=\cos \beta \tan \gamma _{2}\,}$$

正式な解答は次の通りです:${\displaystyle \gamma_{2}}$

$${\displaystyle \gamma _{2}=\tan ^{-1}\left[\tan \gamma _{1}\sec \beta \right]\,}$$

逆正接関数は多値であるため、の解は一意ではありませんが、 の解は対象の角度にわたって連続している必要があります。たとえば、atan2 (y, x) 関数を使用した次の明示的な解は に対して有効です。 ${\displaystyle \gamma_{2}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$${\displaystyle -\pi <\gamma _{1}<\pi }$

$${\displaystyle \gamma _{2}=\operatorname {atan2} \left(\sin \gamma _{1},\cos \beta \,\cos \gamma _{1}\right)}$$

回転ジョイントの角度と は時間の関数になります。運動方程式を時間に関して微分し、運動方程式自体を使用して変数を消去すると、角速度と の関係が得られます。${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$${\displaystyle \omega _{1}=d\gamma _{1}/dt}$${\displaystyle \omega _{2}=d\gamma _{2}/dt}$

$${\displaystyle \omega _{2}=\omega _{1}\left({\frac {\cos \beta }{1-\sin ^{2}\beta \,\cos ^{2}\gamma _{1}}}\right)}$$

グラフに示されているように、角速度は線形関係ではなく、回転軸の周期の半分の周期で周期的です。角速度方程式を微分すると、角加速度と の関係が得られます。${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$

$${\displaystyle a_{2}={\frac {a_{1}\cos \beta }{1-\sin^{2}\beta \,\cos^{2}\gamma _{1}}}-{\frac {\omega _{1}^{2}\cos \beta \,\sin^{2}\beta \,\sin 2\gamma _{1}}{\left(1-\sin^{2}\beta \,\cos^{2}\gamma _{1}\right)^{2}}}}$$

ダブル カルダン ジョイント ドライブ シャフトと呼ばれる構成は、ぎくしゃくした回転の問題を部分的に克服します。この構成では、中間シャフトで結合された 2 つの U ジョイントを使用し、2 番目の U ジョイントを最初の U ジョイントに対して位相調整して、変化する角速度を相殺します。この構成では、駆動シャフトと従動シャフトの両方が中間シャフトに対して等しい角度 (必ずしも同じ平面にある必要はありません) にあり、2 つのユニバーサル ジョイントが 90 度位相がずれている場合、従動シャフトの角速度は駆動シャフトの角速度と一致します。このアセンブリは、後輪駆動車でよく使用され、ドライブ シャフトまたはプロペラ (プロップ) シャフト として知られています。

駆動軸と従動軸が中間軸に対して等しい角度にある場合でも、これらの角度がゼロより大きい場合は、回転時に3つの軸に振動モーメントが適用されます。これにより、軸が共通平面に対して垂直方向に曲がる傾向があります。これにより、サポートベアリングに力が加わり、後輪駆動車で「発進時の震え」が発生する可能性があります。^[20]中間軸の角速度には正弦波成分もあり、振動と応力の原因となります。

数学的には、これは次のように表すことができます。 および がそれぞれ駆動軸と中間軸を接続するユニバーサル ジョイントの入力と出力の角度であり、および がそれぞれ中間軸と出力軸を接続するユニバーサル ジョイントの入力と出力の角度であり、各ペアが互いに対して角度をなしている場合、次のようになります。 ${\displaystyle \gamma _{1}\,}$${\displaystyle \gamma _{2}\,}$${\displaystyle \gamma _{3}\,}$${\displaystyle \gamma _{4}\,}$${\displaystyle \beta \,}$

$${\displaystyle \tan \gamma _{2}=\cos \beta \,\tan \gamma _{1}\qquad \tan \gamma _{4}=\cos \beta \,\tan \gamma _{3 }}$$

2 番目のユニバーサル ジョイントが 1 番目のユニバーサル ジョイントに対して 90 度回転すると、次の式が得られます 。${\displaystyle \gamma _{3}=\gamma _{2}+\pi /2}$${\displaystyle \tan(\gamma +\pi /2)=1/\tan \gamma }$

$${\displaystyle \tan \gamma _{4}={\frac {\cos \beta }{\tan \gamma _{2}}}={\frac {1}{\tan \gamma _{1}}} =\tan \left(\gamma _{1}+{\frac {\pi }{2}}\right)\,}$$

出力ドライブは入力シャフトとちょうど 90 度位相がずれており、等速ドライブを実現していることがわかります。

注: ユニバーサル ジョイントの入力軸と出力軸の角度を測定するための基準は、相互に垂直な軸です。したがって、絶対的な意味では、中間シャフトのフォークは互いに平行です。(1 つのフォークはシャフトの入力として機能し、もう 1 つのフォークは出力として機能し、フォーク間には 90 度以上の位相差があるためです。)

ダブル カルダン ジョイントは、センター ヨークと背中合わせに取り付けられた 2 つのユニバーサル ジョイントで構成されます。センター ヨークは中間シャフトの代わりになります。入力シャフトとセンター ヨークの間の角度がセンター ヨークと出力シャフトの間の角度と等しい場合、2 番目のカルダン ジョイントは最初のカルダン ジョイントによってもたらされた速度誤差をキャンセルし、位置合わせされたダブル カルダン ジョイントは CV ジョイントとして機能します。

トンプソン カップリングは、ダブル カルダン ジョイントの改良版です。効率は若干向上しますが、複雑さが大幅に増すというデメリットがあります。

• アイルランド国立大学機械理論3

• [1] Sándor Kabai著、Wolframデモンストレーションプロジェクト。
• DIY: About.com でのユニバーサル ジョイントの交換。
• トンプソン カップリング トンプソン カップリングの限定的な説明。
• ユニバーサルジョイントの故障 - カスタムソリューションで一般的な問題に対応
• ユニバーサル ジョイント フェージング - ユニバーサル ジョイント フェージングとドライブ シャフト アライメントの概念と重要性
• トンプソン カップリング - ABC テレビ ( The New Inventors、2007 年 2 月放送) でグレン トンプソンが発明しました。
• 米国特許7,144,326（等速カップリング）。
• McMaster Carr のユニバーサルジョイントについて。
• マクマスター・カーのカルダンシャフト。