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数学の哲学において、超有限主義、超直観主義[ 1 ] 、厳密形式主義[ 2 ] 、厳密有限主義[ 2 ] 、実在論[ 1 ] 、述語主義[ 2 ] [ 3 ]、強有限主義[ 2 ]は、有限主義と直観主義の側面を持つ様々な数学の哲学である。これらの哲学に共通するのは、自然数上の指数関数などの数論的関数の総体に対する反対である。
他の有限主義者と同様に、超有限主義者は無限集合の存在を否定する。自然数の、決して完成しないという前提に基づいて。
さらに、一部の超有限主義者は、大きな有限な数学的対象を構築する際の物理的な制約のために、実際には誰も構築できない数学的対象の受容に関心を寄せている。そのため、一部の超有限主義者は、例えば、指数関数exp(exp(exp(79))) を用いて定義される巨大な数である第 1スキュー数の床関数のような大きな数の存在を否定したり、受け入れることを控えたりする。
理由は、この実数の底となる自然数が何であるかを誰もまだ計算しておらず、物理的に計算することさえ不可能かもしれないからです。同様に、（クヌースの上向き矢印記法では）は、自然数に対応しない形式的な表現にすぎないと考えられる。数学の物理的実現可能性に関心を持つ超有限主義の一派は、しばしば現実主義と呼ばれる。
エドワード・ネルソンは、自然数の古典的な概念の定義が循環的であるとして批判した。古典数学では、自然数は0と、 0に対する後継関数の反復適用によって得られる数として定義される。しかし、反復処理においては自然数の概念がすでに前提とされている。言い換えれば、のような数を得るには後継関数を反復的に実行する必要がある（実際には、正確に（倍）から0へ。
超有限主義のいくつかのバージョンは構成主義の一形態であるが、ほとんどの構成主義者は、その哲学を非現実的なほど極端だと考えている。超有限主義の論理的基盤は不明確であり、構成主義論理学者のASトロエルストラは、包括的な調査書『数学における構成主義』 （1988年）の中で、 「現状では満足のいく展開は存在しない」と述べて、それを退けた。これは哲学的な反論というよりは、厳密な数学論理学の著作には、単純に含めるのに十分なほど正確なものが何もないという認め方であった。
超有限主義に関する本格的な研究は、1959年から2016年に亡くなるまで、アレクサンダー・エセニン＝ヴォルピンによって主導され、彼は1961年に超有限数学におけるツェルメロ＝フレンケル集合論の無矛盾性を証明するプログラムの概要を示した。このテーマに取り組んだ他の数学者には、ドロン・ツァイルベルガー、エドワード・ネルソン、ロヒット・ジヴァンラル・パリク、ジャン・ポール・ヴァン・ベンデゲムなどがいる。この哲学は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタイン、ロビン・ガンディ、ペトル・ヴォペンカ、ヨハネス・イェルムスレフの思想とも関連付けられることがある。
ショーガン・ラヴィーンは、古典数学と整合性のある集合論的超有限主義の一形態を開発した。[ 4 ] ラヴィーンは、「無限に大きな」数を含めることを許容することで、「最大の自然数は存在しない」などの算術の基本原理が維持できることを示した。[ 4 ]
扱いにくい大きな数を回避する可能性についてのその他の考察は、計算複雑性理論に基づいている。例えば、アンドラーシュ・コルナイの明示的有限性に関する研究（大きな数の存在を否定するものではない）[ 5 ]や、ウラジミール・サゾノフの実行可能な数の概念などである。
複雑性理論に基づく超有限主義のバージョンについても、形式的な発展がかなり進んでおり、例えば、PやPSPACEといった様々な複雑性クラスに関連する数学を捉えるサミュエル・バスの限定算術理論などが挙げられる。バスの研究は、エドワード・ネルソンの述語算術に関する研究の継続と見なすことができる。なぜなら、S12のような限定算術理論はラファエル・ロビンソンの理論Qで解釈可能であり、したがってネルソンの意味で述語的だからである。これらの理論が数学を発展させる力は、スティーブン・A・クックやフオン・テ・グエンの研究に見られるように、限定逆算術で研究されている。しかし、これらは数学の哲学ではなく、逆算術に似た制限された推論形式の研究である。
