ウラムスパイラル

ウラム螺旋または素数螺旋は、素数の集合をグラフィカルに表現したもので、1963年に数学者スタニスワフ・ウラムによって考案され、その後まもなくサイエンティフィック・アメリカン誌のマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムで普及しました。 ^{[1]これは、正の整数を}正方形の螺旋に書き、素数を特別にマークすること で構築されます。

ウラムとガードナーは、多数の素数を含む顕著な対角線、水平線、垂直線が螺旋に現れる印象的な現象を強調した。ウラムとガードナーの両者は、螺旋の線は2次多項式に対応し、オイラーの素数生成多項式 x ²  −  x  + 41などの特定の多項式は高密度の素数を生成すると考えられているため、このような顕著な線の存在は予想外ではないと指摘した。 ^{[2] [3]} それにもかかわらず、ウラムの螺旋は、ランダウの問題などの数論における主要な未解決問題と関連している。特に、2次多項式が無限に多くの素数を生成することが証明されたことはなく、ましてやそれらの漸近密​​度が高いことはなおさらであるが、その漸近密度がどの程度であるべきかについては十分に裏付けられた推測がある。

ウラムの発見の31年前の1932年、爬虫類学者 ローレンス・クラウバーは、同様に素数が集中している垂直線と対角線を含む三角形の非螺旋配列を構築しました。ウラムと同様に、クラウバーはオイラーの多項式などの素数生成多項式との関連に注目しました。^[4]

ウラム螺旋は、正方格子上に螺旋状に正の整数を書き込むことによって構築されます。

そして素数をマークします:

図では、素数が特定の対角線に沿って集中しているように見える。上に示した 201×201 のウラム螺旋では、対角線がはっきりと見えており、その点までのパターンを裏付けている。素数の密度が高い水平線と垂直線も、それほど目立たないが明らかである。ほとんどの場合、数の螺旋は中央の数字 1 から始まるが、どの数字から始めても、対角線、水平線、垂直線に沿って素数が同じように集中していることが観察される。中央の 41 から始まる対角線は、40 個の素数が途切れることなく続く (原点の南西 1523 から始まり、原点では 41 に減少し、原点の北東 1601 に増加する) 対角線となり、この種のものの中で最も長い例となる。^[5]

ガードナーによると、ウラムは1963年に科学会議で「長くて非常に退屈な論文」を発表中に落書きをしていたときにこの螺旋を発見した。^[1] これらの手計算は「数百ポイント」に及んだ。その後まもなく、ウラムは共同研究者のマイロン・スタインとマーク・ウェルズとともに、ロスアラモス科学研究所のMANIAC IIを使用して計算を約100,000ポイントにまで拡張した。グループはまた、素数の多い線と素数の少ない線に沿って、10,000,000までの数の間の素数の密度を計算した。最大65,000ポイントの螺旋の画像が「マシンに取り付けられたスコープ」に表示され、その後写真に撮られた。^{[6]ウラムの螺旋は、サイエンティフィック}・アメリカン誌のマーティン・ガードナーの1964年3月の「数学ゲーム」コラム で説明され 、その号の表紙を飾った。スタイン、ウラム、ウェルズの写真のいくつかがコラムに再現された。

サイエンティフィック・アメリカンのコラムの補遺で、ガードナーはクラウバーの以前の論文に言及した。^{[7] [8]} クラウバーは自身の構成を次のように説明している。「整数は三角形の順序で配置され、頂点に 1 があり、2 行目には 2 から 4、3 行目には 5 から 9 というように続く。素数が示されると、特定の垂直線と対角線に集中していることがわかり、その中に素数が集中しているいわゆるオイラー数列が見つかる。」^[4]

数螺旋の対角線、水平線、垂直線は、次の形式の多項式に対応している。

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

ここで、 bとc は整数定数です。b が偶数の場合、直線は対角線になり、 cの値に応じて、すべての数が奇数かすべて偶数になります。したがって、2 以外のすべての素数がウラム螺旋の交互の対角線上にあるのは当然のことです。 などの一部の多項式は、奇数値のみを生成しますが、整数で因数分解されるため、因数の 1 つが 1 である場合を除いて、決して素数にはなりません。このような例は、素数がまったくないか、ほとんどない対角線に対応します。 ${\displaystyle 4n^{2}+8n+3}$${\displaystyle (4n^{2}+8n+3)=(2n+1)(2n+3)}$

残りの奇数対角要素の一部に、他よりも素数が集中している理由を理解するには、とについて考えます。n が0、1、2、... と連続する値を取るときに、3 で割ったときの余りを計算します。これらの多項式の最初の場合、余りのシーケンスは 1、2、2、1、2、2、... ですが、2 番目の場合、余りのシーケンスは 2、0、0、2、0、0、... です。これは、2 番目の多項式が取る値のシーケンスでは、3 つのうち 2 つが 3 で割り切れるため、明らかに素数ではない一方で、最初の多項式が取る値のシーケンスでは、どれも 3 で割り切れないことを意味します。したがって、最初の多項式は、2 番目の多項式よりも素数の密度が高い値を生成すると考えられます。少なくとも、この観察から、対応する対角要素に素数が同じように密集していると考える理由はほとんどありません。もちろん、3 以外の素数で割り切れるかどうかも考慮する必要があります。5 で割り切れるかどうかも調べると、15 で割った余りは、最初の多項式では 1、11、14、10、14、11、1、14、5、4、11、11、4、5、14 のパターンで繰り返され、2 番目では 5、0、3、14、3、0、5、3、9、8、0、0、8、9、3 のパターンで繰り返されます。これは、2 番目のシーケンスの 15 個の値のうち 3 個だけが潜在的に素数 (3 でも 5 でも割り切れない) であるのに対し、最初のシーケンスの 15 個の値のうち 12 個が潜在的に素数 (5 で割り切れるのは 3 個だけで、3 で割り切れるのは 0 個であるため) であることを意味します。 ${\displaystyle 4n^{2}+6n+1}$${\displaystyle 4n^{2}+6n+5}$

二次数列の素数に関して厳密に証明された結果はほとんどありませんが、上記のような考慮により、そのような数列の素数の漸近密度に関するもっともらしい推測が生まれます。これについては次のセクションで説明します。

1923 年のゴールドバッハ予想に関する論文で、ハーディとリトルウッドは一連の予想を述べた。そのうちの 1 つが正しければ、ウラム螺旋の顕著な特徴のいくつかを説明できるだろう。ハーディとリトルウッドが「予想 F」と呼んだこの予想は、ベイトマン - ホーン予想の特殊なケースであり、形式ax ²  +  bx  +  cの素数の漸近式を主張する。ウラム螺旋の中心領域から発せられ、水平および垂直に対して 45° の角度をなす放射線は、bが偶数の 4 x ²  +  bx  +  cの形式数に対応し、水平および垂直の放射線は、 bが奇数の同じ形式数に対応する。予想 F は、そのような放射線に沿った素数の密度を推定するために使用できる式を提供する。これは、異なる放射線に沿った密度にかなりのばらつきがあることを意味している。特に、密度は多項式の判別式b ²  − 16 cに非常に敏感です。

予想 F は、 a、b、cが整数でaが正である、形式ax ²  +  bx  +  cの多項式に関するものである。係数に 1 より大きい共通因数が含まれるか、判別式 Δ =  b ²  − 4 acが完全な平方である場合、多項式は因数分解され、したがってx が値 0、1、2、... を取るときに合成数を生成します (ただし、因数の 1 つが 1 であるxの値が 1 つまたは 2 つある可能性を除く)。さらに、 a  +  bとcが両方とも偶数の場合、多項式は偶数値のみを生成するため、おそらく値 2 を除いて合成数です。ハーディとリトルウッドは、これらの状況とは別に、x が値 0、1、2、... を取るときにax ²  +  bx  +  c が素数値を取ることが無限にあると主張しています。このステートメントは、ブニャコフスキーの以前の予想の特別な場合であり、未解決のままです。ハーディとリトルウッドはさらに、漸近的に、 ax ²  +  bx  +  cの形でn未満の素数の個数P ( n )は次のように与えられると 主張している。

${\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}}$

ここで、A はa、b、cに依存しますが、 nには依存しません。素数定理により、 Aが 1 に等しいこの式は、ax ²  +  bx  +  cの形式の数集合と同じ密度を持つランダムな数集合で期待されるn未満の素数の漸近数です。しかし、A は1 より大きい値や小さい値を取ることができるため、予想によれば、一部の多項式は素数が特に多く、他の多項式は特に素数が少なめになります。異常に素数が多い多項式は 4 x ²  − 2 x  + 41 で、ウラム螺旋で目に見える線を形成します。この多項式の定数Aは約 6.6 であり、予想によれば、この多項式が生成する数が素数である可能性は、同等の大きさのランダムな数よりも約 7 倍高いことを意味します。この多項式は、オイラーの素数生成多項式x ²  −  x  + 41 のx を2 xに置き換えるか、またはx を偶数に制限することによって関連付けられます。定数A は、すべての素数の積で与えられます。

${\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~}$、

ここで、はpを法とする二次多項式の零点の数であり、したがって0、1、2のいずれかの値を取る。ハーディとリトルウッドは積を3つの因数に分解する。 ${\displaystyle \omega (p)}$

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1 -{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$。

ここで、素数 2 に対応する係数 ε は、a  +  bが奇数の場合は 1 、a  +  bが偶数の場合は 2 です。最初の積のインデックスp は、 aとb の両方を割り切る有限個の奇数の素数に渡って実行されます。これらの素数については、 p はc を割り切れないので、 2 番目の積のインデックスは、a を割り切れない無限個の奇数の素数に渡って実行されます。これらの素数については、判別式が 0、非ゼロの平方、またはp を法とする非平方のいずれであるかによって、 は 1、2、または 0 に等しくなります。これは、ルジャンドル記号、を使用することで説明されます。素数p がa を割り切れるがb を割り切れない場合は、 p を法とする根が 1 つ存在します。したがって、このような素数は積に寄与しません。 ${\displaystyle \omega (p)=0}$${\displaystyle \varpi}$${\displaystyle \omega (p)}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)}$

A ≈ 11.3という現在知られている最高値の2次多項式が、ジェイコブソンとウィリアムズによって発見されました。 ^{[9] [10]}

クラウバーの 1932 年の論文では、行nに( n   − 1) ²  + 1 からn ^{2までの数字が含まれる三角形について説明しています。ウラム螺旋と同様に、2 次多項式は直線上に存在する数字を生成します。垂直線は}k ²  −  k  +  Mの形式の数字に対応します。図では、素数が密集した垂直線と対角線がはっきりと示されています。

ロバート・サックスは 1994 年にウラム螺旋の変形を考案しました。サックス螺旋では、非負整数はウラムが使用した正方形螺旋ではなくアルキメデスの螺旋上にプロットされ、 1 回転ごとに 1つの完全な正方形が発生するように間隔が空けられています (ウラム螺旋では、1 回転ごとに 2 つの正方形が発生します)。オイラーの素数生成多項式x ²  −  x  + 41 は、x が0、1、2、... という値を取るときに 1 つの曲線として表示されます。この曲線は、図の左半分で水平線に漸近します (ウラム螺旋では、オイラーの多項式は 2 本の対角線を形成します。1 本は図の上半分にあり、数列のxの偶数値に対応し、もう 1 本は図の下半分にあり、数列のxの奇数値に対応します)。

合成数もウラム螺旋に含めると、追加の構造が見られる場合があります。数 1 には、1 自体という 1 つの因数しかありません。各素数は、1 自体と 1 という 2 つの因数を持ちます。合成数は、少なくとも 3 つの異なる因数で割り切れます。整数を表す点のサイズを使用して因数の数を示し、素数を赤、合成数を青で色付けすると、図のような図が作成されます。

平面上の他のタイリングに続く螺旋も、六角形の螺旋など、素数を多く含む線を生成します。

• 
  オイラーの多項式x ²   −   x + 41によって生成された素数が  強調表示されたクラウバー三角形。
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  サックススパイラル。
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  素数と合成数の両方を示す、サイズ 150×150 のウラム螺旋。
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  素数が緑色で、より合成数が多い数が濃い青色で表示された六角形の数字の螺旋。
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  正三角形上に 7503 個の素数が見える数字の螺旋。
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  1000万個の素数を持つウラム螺旋。

• パターン認識
• 素数 k タプル

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