真範囲マルチラテレーション

真距離マルチラテレーション（レンジレンジマルチラテレーション、球面マルチラテレーションとも呼ばれる）は、車両/ポイントと複数の空間的に離れた既知の場所（多くの場合「ステーション」と呼ばれる）間の複数の範囲（距離）を使用して、空間内の移動車両または静止ポイントの位置を決定する方法です。^{[1] [2]}エネルギー波は範囲の決定に関与する場合がありますが、必須ではありません。

真範囲マルチラテレーションは数学的なトピックであると同時に、いくつかの分野で使用されている応用技術でもあります。固定位置を伴う実用的なアプリケーションは測量で発生します。^{[3] [4]車両の位置を伴うアプリケーションは、車両に搭乗している人や機器に車両の位置が通知される場合は}ナビゲーションと呼ばれ、車両外のエンティティに車両の位置が通知される場合は監視と呼ばれます。

2 つの既知の場所からの2 つの斜距離を使用して、2 次元直交空間 (平面) 内の 3 番目のポイントを特定できます。これは、頻繁に適用される手法です (たとえば、測量)。同様に、2 つの球面距離を使用して球面上のポイントを特定できます。これは、高度インターセプト問題と呼ばれる古代の天体航法の基本的な概念です。さらに、最小数を超える距離が利用できる場合は、それらも利用することをお勧めします。この記事では、複数の距離を使用した位置決定の一般的な問題について説明します。

2 次元幾何学では、点が 2 つの円上にある場合、円の中心と 2 つの半径から、可能性のある場所を 2 つに絞り込むのに十分な情報が得られます。そのうちの 1 つは目的の解で、もう 1 つはあいまいな解です。追加情報により、可能性が 1 つの場所に絞り込まれることがよくあります。3 次元幾何学では、点が 3 つの球面上にあることがわかっている場合、3 つの球の中心と半径からも、可能性のある場所を 2 つ以下に絞り込むのに十分な情報が得られます (中心が直線上にある場合を除く)。

真範囲マルチラテレーションは、より頻繁に使用される疑似範囲マルチラテレーションとは対照的です。疑似範囲マルチラテレーションは、距離の差を利用して（通常は移動可能な）ポイントを見つけます。疑似範囲マルチラテレーションは、ほとんどの場合、エネルギー波の到着時間（TOA）を測定することによって実装されます。真範囲マルチラテレーションは、角度の測定を伴う三角測量とも対照的です。

ここで言う真範囲マルチラテレーションには、一般に受け入れられている、あるいは広く使用されている用語はありません。この名前が選択されるのは、次の理由からです。(a) 正確な説明であり、部分的に馴染みのある用語である (この文脈ではマルチラテレーションがよく使用されます)。(b) 関係する範囲の数を指定する必要がない (たとえば、レンジ-レンジのように)。(c) アプリケーションを暗示する必要がない (たとえば、DME/DME ナビゲーションや三辺測量のように)。(d) より一般的な疑似範囲マルチラテレーションとの混同を避けることができる。

同様の距離と測定誤差の場合、真距離マルチラテレーションに基づくナビゲーションおよび監視システムは、疑似距離マルチラテレーションに基づくシステムよりもはるかに広い 2D 領域または 3D ボリュームにサービスを提供します。ただし、真距離の測定は疑似距離の測定よりも困難またはコストがかかることがよくあります。数マイルまでの距離と固定場所の場合、真距離は手動で測定できます。これは、たとえばロープやチェーンを使用して、数千年にわたって測量で行われてきました。

長距離や移動中の車両の場合は、通常、無線/レーダー システムが必要です。この技術は、レーダーと組み合わせて 1940 年頃に初めて開発されました。それ以来、次の 3 つの方法が採用されてきました。

• 双方向距離測定、一方がアクティブ – これは、従来のレーダー (プライマリレーダーと呼ばれることもあります) で非協力的なターゲットの距離を測定するために使用されている方法で、現在はレーザー距離計でも使用されています。主な制限は次のとおりです。(a) ターゲットは自身を識別せず、複数のターゲットがある状況では、リターンの割り当てが誤っている可能性があります。(b) リターン信号は (送信信号に比べて) 車両ステーションの距離の 4 乗で減衰します (したがって、数十マイル以上の距離の場合、ステーションには通常、高出力の送信機や大型/高感度のアンテナが必要です)。(c) 多くのシステムは見通し内伝播を利用しており、両者が海抜同様の高さにいる場合、距離は 20 マイル未満に制限されます。
• 双方向距離測定、双方がアクティブ – この方法は、 1941 年にドイツ空軍が配備したY-Gerät航空機誘導システムによってナビゲーションに初めて使用されたと言われています。現在では、二次レーダー監視や DME/DME ナビゲーションなど、航空交通管制で世界中で使用されています。双方が送信機と受信機の両方を持っている必要があり、干渉の問題に対処する必要がある場合があります。
• 一方向距離測定 -複数のステーションと車両間の電磁エネルギーの飛行時間(TOF) は、一方の送信ともう一方の受信に基づいて測定されます。これは最も最近開発された方法で、原子時計の開発によって可能になりました。車両 (ユーザー) とステーションが同期した時計を持っている必要があります。これは、Loran-C と GPS で (実験的に) 成功裏に実証されています。^{[2] [5]}

真範囲マルチラテレーションアルゴリズムは、次の基準に基づいて分割される。

• 問題空間の次元（通常、2つまたは3つ）
• 問題空間の幾何学（一般的には直交座標または球面座標）と
• 冗長な測定値の存在（問題空間の次元を超える）。

疑似範囲マルチラテレーション アルゴリズムはどれも、真の範囲マルチラテレーションでの使用に特化できます。

解析的な解法はおそらく1000年以上前から知られており、いくつかの文献にも記載されています。^[6]さらに、3次元の直交座標空間にアルゴリズムを簡単に適応させることができます。

最も単純なアルゴリズムは、解析幾何学とステーションベースの座標フレームを使用する。したがって、図1の円の中心（またはステーション） C1とC2を考えてみよう。これらの座標は既知であり（たとえば、すでに測量されている）、したがってその間隔は既知である。図の「ページ」にはC1とC2が含まれている。3番目の「関心点」P（たとえば、車両または測量対象の別の点）が未知の点にある場合、ピタゴラスの定理は次式をもたらす。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(Ux)^{2}+y^{2}\end{aligned}}}$

したがって、

には 2 つの値がある (つまり、解があいまいである)ことに注意してください。これは通常、問題にはなりません。 ${\displaystyle y}$

多くの改良が加えられていますが、最も基本的な真の範囲のマルチラテレーション関係は方程式1です。航空機の DME/DME ナビゲーションと三辺測量法は、その応用例です。第二次世界大戦中のOboeと朝鮮戦争中、SHORAN は同じ原理を使用して、2 つの地上局までの測定距離に基づいて航空機を誘導しました。SHORAN は後に、沖合の石油探査と航空測量に使用されました。オーストラリアの Aerodist 航空測量システムは、2 次元直交座標の真の範囲のマルチラテレーションを使用しました。^{[7]この 2 次元シナリオは非常に重要であるため、}三辺測量 という用語は、既知のベースラインと 2 つの距離測定を含むすべてのアプリケーションによく適用されます。

円の中心を含むベースラインは対称線です。正しい解とあいまいな解は、ベースラインに対して垂直で、ベースラインから等距離にあります (反対側)。通常、あいまいな解は簡単に識別できます。たとえば、Pが車両の場合、ベースラインに向かう動きやベースラインから離れる動きは、あいまいな解の反対方向になります。したがって、車両の方向の大まかな測定で十分です。2 番目の例: 測量士は、Pがベースラインのどちら側にあるかをよく知っています。3 番目の例: Pが航空機で、C1とC2 が地上にある アプリケーションでは、あいまいな解は通常、地面の下にあります。

必要であれば、三角形C1-C2-Pの内角は、三角関数の余弦定理を使用して求めることができます。また、必要であれば、C1とC2の座標が第 2 のシステムでわかっている場合、 Pの座標を、ユニバーサル横メルカトル (UTM) システムなどの、よりよく知られている第 2 の座標系で表すことができます。どちらも、三辺測量法が採用されている測量でよく行われます。^[8] Pの座標が確立されると、線C1-PとC2-Pを新しいベースラインとして使用し、追加のポイントを測量できます。したがって、トラバースと呼ばれる複数の小さな三角形に基づいて、広い領域または距離を測量できます。

上記の式が正しいと仮定すると、 と はPの同じ位置に関係しているという暗黙の仮定が成り立ちます。Pが車両の場合、通常、 とは、車両速度と許容される車両位置誤差によって決まる同期許容値内で測定されなければなりません。 あるいは、距離測定間の車両の動きは、多くの場合推測航法によって考慮されることがあります。 ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

三角法による解法も可能です (辺-辺-辺の場合)。また、グラフィックスを使用した解法も可能です。リアルタイム ナビゲーション中に、地図上のオーバーレイとしてグラフィカルな解法が使用されることもあります。

3次元直交座標の真の範囲のマルチラテレーション問題を直接（つまり、閉じた形式で）解くアルゴリズムは複数あります（例：Fang）。^{[9]さらに、疑似範囲の}マルチラテレーション 用に開発された閉じた形式のアルゴリズムを採用することもできます。^{[10] [6]} Bancroftのアルゴリズム^[11]（適応型）はベクトルを使用しており、状況によっては有利です。

最も単純なアルゴリズムは、図 2 の球の中心に対応します。図の「ページ」は、C1、C2、C3 を含む平面です。P がの「関心点」（たとえば、車両）である場合、ピタゴラスの定理により、Pと球の中心の間の傾斜範囲が得られます。 ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(xU)^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{3}^{2}&=(x-V_{x})^{2}+(y-V_{y})^{2}+z^{2}\end{aligned}}}$

したがって、 Pの座標は次のようになります。

球の中心を含む平面は対称面です。正しい解とあいまいな解は、対称面に対して垂直で、反対側に等距離にあります。

3D 真範囲マルチラテレーションの多くの用途は、精密製造などの短距離に関係します。^[12] 3 つ以上のレーダー (FAA のERAMなど) からの距離測定を統合することは、3D 航空機監視アプリケーションです。 3D 真範囲マルチラテレーションは、航空機ナビゲーション用の GPS 衛星で実験的に使用されてきました。^[5]航空機に原子時計を搭載する必要があるため、一般的な使用はできません。ただし、GPS 受信機のクロック補助は、ネットワーク経由の補助を含め、活発に研究されている分野です。したがって、結論は変わる可能性があります。^[13] 3D 真範囲マルチラテレーションは、国際民間航空機関によって航空機着陸システムとして評価されましたが、別の手法の方が効率的であることがわかりました。^[14]進入および着陸中に航空機の高度を正確に測定するには、飛行経路に沿って多くの地上局が必要です。

これは、高度切片問題と呼ばれる古典的な天体（または天文学的）ナビゲーション問題です（図 3）。これは、三辺測量法の球面幾何学版です（ただし、関係する距離は一般にはるかに大きくなります）。海上での解決（必ずしも太陽と月を必要としない）は、海洋クロノメーター（1761 年に導入）と 1837 年の「位置線」（LOP）の発見によって可能になりました。現在、大学（例：米国海軍兵学校）で最も多く教えられている解決法は、球面三角法を使用して、 2 つの天体の「高度」の六分儀測定に基づいて斜球面三角形を解きます。 ^{[15] [16]}この問題は、ベクトル解析を使用して対処することもできます。^{[17]歴史的には、}切片法などのグラフィカルな手法が採用されていました。これらは、測定された 3 つ以上の「高度」に対応できます。海上で測定を行うのは難しいため、3 ～ 5 の「高度」が推奨されることが多いです。

地球は球体よりも回転楕円体としてモデル化される方が適しているため、現代の実装では反復的な手法が使用される場合があります。^[18]高高度航空機やミサイルでは、自動航法を実行するために天体航法サブシステムが慣性航法サブシステムと統合されることがよくあります。たとえば、米国空軍のSR-71ブラックバードやB-2スピリットなどです。

ロランCは「球面」擬似距離マルチラテレーションシステムとして意図されていたが、設備の整ったユーザー（カナダ水路局など）によって「球面」真距離マルチラテレーションシステムとしても使用されてきた。^[2]これにより、ロランCステーショントライアドのカバーエリアを大幅に拡張（2倍または3倍など）し、使用可能な送信機の最小数を3台から2台に減らすことができた。現代の航空では、球面距離よりも斜距離が測定されることが多いが、航空機の高度がわかっている場合は、斜距離を球面距離に簡単に変換できる。^[6]

同じC1およびC2 (またはC1、C2およびC3 ) ステーションから、または追加のステーションから、問題の寸法よりも多くの範囲測定値が利用できる場合、少なくとも次の利点が得られます。

• 「悪い」測定値は識別され、拒否される
• 曖昧な解決策は自動的に（つまり、人間の介入なしに）特定できる - 追加のステーションが必要
• 「良好な」測定における誤差は平均化できるため、その影響は軽減されます。

非線形最小二乗法 (NLLS) 問題を解くための反復ガウス・ニュートン法は、一般的に、必要最小限よりも多くの「良好な」測定値がある場合に好まれます。ガウス・ニュートン法が多くの閉形式アルゴリズムより優れている重要な利点は、範囲誤差を線形に扱うことです。これは、範囲誤差の性質であるため、平均化によって範囲誤差の影響が軽減されます。^[10]ガウス・ニュートン法は、測定範囲が最小限の場合にも使用できます。ガウス・ニュートン法は反復的であるため、初期の解の推定が必要です。

3 次元直交座標空間では、4 番目の球の中心が最初の 3 つの範囲と同一平面上にない場合、3 番目の球によって 3 つの範囲で発生するあいまいな解決が排除されます。2 次元直交座標または球面空間では、3 番目の円の中心が最初の 2 つの範囲と同一直線上にない場合、3 番目の円によって 2 つの範囲で発生するあいまいな解決が排除されます。

この記事では、主に、この技術の最も基本的な使用法である、真範囲マルチラテレーション技術の「1 回限りの」適用について説明します。図 1 を参照すると、「1 回限りの」状況の特徴は、真範囲マルチラテレーション技術の 1 回の適用から次の適用までの間に、ポイントPと、 C1およびC2の少なくとも 1 つが変わることです。これは、測量、手動照準を使用した天体航法、および一部の航空機 DME/DME 航法に適しています。

ただし、他の状況では、真の範囲のマルチラテレーション技術は繰り返して（基本的に連続的に）適用されます。そのような状況では、C1とC2（およびおそらくCn、n = 3、4、...）は一定のままで、Pは同じ車両です。アプリケーションの例（および選択された測定間隔）は、複数のレーダー航空機監視（レーダーのカバー範囲に応じて 5 秒と 12 秒）、航空測量、高精度ユーザー クロックを使用した Loran-C ナビゲーション（約 0.1 秒）、および一部の航空機 DME/DME ナビゲーション（約 0.1 秒）です。一般に、繰り返し使用の実装では、（a）マルチラテレーション ソリューション アルゴリズムに加えて「トラッカー」アルゴリズム^[19]を採用し、異なる時間に収集された測定値を何らかの方法で比較および平均化できるようにします。また、（b）反復ソリューション アルゴリズムを使用します。これは、（b1）さまざまな数の測定値（冗長な測定値を含む）を許可し、（b2）ソリューション アルゴリズムが呼び出されるたびに初期推測が本質的に存在するためです。

ハイブリッドマルチラテレーションシステム（真の距離システムでも疑似距離システムでもないシステム）も可能である。例えば、図1では、円の中心が左にシフトしてC1が、C2が の場合、関心点Pは ${\displaystyle x_{1}^{\prime }=-{\tfrac {1}{2}}U,y_{1}^{\prime }=0}$${\displaystyle x_{2}^{\prime }={\tfrac {1}{2}}U,y_{2}^{\prime }=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })}{2U}}\\[4pt]y^{\prime }&=\pm {\frac {{\sqrt {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })^{2}-U^{2}}}{\sqrt {U^{2}-(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })^{2}}}}{2U}}\end{aligned}}}$

この形式の解は、 と の和と差に明示的に依存し、-解から -解への「連鎖」を必要としません。および を測定することにより、真の範囲のマルチラテレーション システムとして実装できます。 ${\displaystyle r_{1}^{\prime }}$${\displaystyle r_{2}^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle y^{\prime }}$${\displaystyle r_{1}^{\prime }}$${\displaystyle r_{2}^{\prime }}$

ただし、異なる機器を計測および使用することで、ハイブリッド マルチラテレーション システムとして実装することもできます。たとえば、 1 つの送信機と 2 つの受信機 (2 つのモノスタティックレーダーではなく) を備えたマルチスタティック レーダーによる監視などです。送信機を 1 つ削減することは利点ですが、それには相殺される「コスト」があります。つまり、2 つのステーションの同期許容度は、両方を正確に計測するために、ポイントPの速度ではなく、伝搬速度 (通常は光速) に依存するようになります。 ${\displaystyle r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime }}$${\displaystyle r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime }}$${\displaystyle r_{1}^{\prime }\pm r_{2}^{\prime }}$

運用上はまだ実装されていないが、ハイブリッドマルチラテレーションシステムは、空港付近の航空機監視や航空用のGPSナビゲーションバックアップシステムとして研究されてきた。^[20]

真の範囲のマルチラテレーション システムの位置精度 (たとえば、 図 1 のポイントPの座標の精度) は、(1) 距離測定精度と、(2)システムのステーションC1およびC2に対するPの幾何学的関係という 2 つの要素によって決まります。これは、図 4 から理解できます。2 つのステーションはドットで示され、BLU はベースライン ユニットを示します (測定パターンは、ベースラインとベースラインの垂直二等分線の両方について対称であり、図では切り捨てられています)。一般的に行われているように、個々の距離測定誤差は、距離とは無関係であり、統計的に独立しており、同一に分布していると見なされます。この合理的な仮定により、ユーザー ステーションの形状と距離測定誤差が、計算されたPの座標の誤差に与える影響が切り離されます。ここで、測定形状は、単に 2 つの円が交差する角度、つまり線P-C1と 線P-C2の間の角度です。点P-が円上にない場合、その位置の誤差は、最も近い 2 つの青い円と最も近い 2 つのマゼンタの円で囲まれた面積にほぼ比例します。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

冗長な測定を行わない場合、真の範囲のマルチラテレーション システムは、範囲測定よりも正確になることはなく、測定ジオメトリが適切に選択されていない場合は、大幅に精度が低下する可能性があります。したがって、一部のアプリケーションでは、ポイントPの位置に制限が設けられています。2 次元直交座標 (三辺測量) の場合、これらの制限は、次の 2 つの同等の形式のいずれかになります。

• P-C1線と P-C2線の間のPにおける許容内角: 理想は直角であり、ベースラインからベースラインの長さの半分以下の距離で発生します。理想の 90 度からの最大許容偏差を指定できます。
• 位置誤差を決定する際に距離誤差を乗算する水平精度低下 (HDOP)。2 次元の場合、理想的な (最小) HDOP は 2 の平方根 ( ) で、 P-C1とP-C2の間の角度が 90 度のときに発生します。最大許容 HDOP 値を指定できます。(ここで、等しい HDOP は、図 4 で交差角度が同じである点の軌跡です。)${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$

真の範囲のマルチラテレーションナビゲーションまたは監視システムを計画する際には、多くの場合、精度低下(DOP) 分析を行って、ステーションの数と位置、システムのサービスエリア (2 次元) またはサービス量 (3 次元) に関する決定に役立てます。^{[21] [22]}図 5 は、2 次元の 2 ステーション真の範囲のマルチラテレーションシステムの水平 DOP (HDOP) を示しています。2 つの次元のうち 1 つだけが実際に測定されるため、HDOP はベースラインとその延長線に沿って無限大になります。このようなシステムのユーザーは、ベースラインのおおよそ横側で、アプリケーションに依存する範囲バンド内にいる必要があります。たとえば、航空機による DME/DME ナビゲーションフィックスの場合、米国 FAA によって許可されている最大 HDOP は最小値の 2 倍、つまり 2.828 であり、^[23]最大使用範囲 (ベースラインの二等分線に沿って発生) はベースラインの長さの 1.866 倍に制限されます。 (2 つの DME 地上局と 1 機の航空機を含む平面は厳密には水平ではありませんが、通常はほぼ水平です。) 同様に、測量士は図 1 の点P を選択して、 C1-C2-P がほぼ正三角形を形成するようにします (HDOP = 1.633)。

三辺測量における誤差については、いくつかの文書で議論されている。^{[24] [25]}一般的に、アルゴリズムの数値誤差の影響よりも、距離測定誤差の影響に重点が置かれている。

• 三辺測量法による土地測量
• 航空測量
• 海洋考古学調査^[26]
• DME/DME RNAV航空機ナビゲーション^{[23] [27]}
• 複数のレーダー統合 (例: FAA ERAM ) ^[28]
• 高度インターセプト法を用いた天体航法
• 切片法- 高度切片問題のグラフィカルな解法
• レーザー干渉計の校正^[12]
• SHORAN、Oboe、Gee-H —「盲目的」爆撃用に開発された航空機誘導システム
• JTIDS (統合戦術情報配信システム) - 参加者間の距離を使用してネットワーク内の参加者の位置を特定する (他の機能の中でも) 米国/NATO のシステム
• 米空軍のSR-71ブラックバード航空機 - 天体慣性航法を採用
• 米空軍B-2スピリット航空機 - 宇宙慣性航法を採用
• 実験的ロランC技術^[2]

ナビゲーションおよび監視システムには、通常、車両が関与し、政府機関またはその他の組織が、無線技術 (電磁波の利用) を採用した複数のステーションを配置する必要があります。このようなシステムに真範囲マルチラテレーションを採用することの利点と欠点を次の表に示します。

真範囲マルチラテレーションは、多くの場合、（疑似範囲）マルチラテレーションと対比されます。どちらも複数のステーションへのユーザー範囲の形式を必要とするためです。ユーザー装備の複雑さとコストは、車両ナビゲーションと監視における真範囲マルチラテレーションの使用を制限する最も重要な要因であると考えられます。一部の用途は、システム展開の本来の目的ではありません（例：DME/DME 航空機ナビゲーション）。

• 距離幾何学問題、分子に適用される同様の手法
• 天体航法—天体に基づいた古代の航海技術
• 距離測定装置（DME） - 航空機と地上局間の距離を測定するために使用されるシステム
• ユークリッド距離
• インターセプト法- 天体航法で使用されるグラフィック技術
• レーザー距離計
• マルチラテレーション– 疑似範囲マルチラテレーションに対応
• レンジファインダー—地上の2点間の距離を測定するために使用されるシステム
• 切除（方向）
• SHORAN —軍用航空機のナビゲーションシステムとして開発され、後に民間用途にも使用された
• 測量
• テルロメーター— 最初のマイクロ波電子距離計
• 三角測量– 角度を測定する測量方法

• stackexchange.com、PHP / Python 実装