分布関数（測度論）

数学、特に測度論では、分布関数にはさまざまな概念があり 、それらが使用されるコンテキスト（関数の特性、または測度の特性）を理解することが重要です。

分布関数（測度論の意味での）は、分布関数（確率論の意味での）の一般化です。

ここで提示する最初の定義^[1]は、解析学（調和解析、フーリエ解析、および一般的な積分理論）において関数の特性を解析するために典型的に使用されます。

定義 1:が測度空間であり、が実数値の測定可能な関数であるとします。 に関連付けられた分布関数は、によって与えられる関数です。を定義すると便利です。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d_{f}:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$$${\displaystyle d_{f}(s)=\mu {\Big (}\{x\in X:|f(x)|>s\}{\Big )}}$$${\displaystyle d_{f}(\infty )=0}$

この関数は、測定可能な関数のサイズ に関する情報を提供します。 ${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle f}$

分布関数の次の定義は、分布関数の概念 （確率論の意味で）をそのまま一般化したものです。

定義2.を実数空間上の有限測度とし、ボレル代数を備えるものとする。 に関連付けられた分布関数は、次のように定義される関数である。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle F_{\mu}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle F_{\mu}(t)=\mu{\big (}(-\infty,t]{\big)}}$$

^測度論[2]におけるよく知られた結果として、 が非減少右連続関数である場合、によって 形式の有限区間の集合上で定義された関数は、ボレル集合を含む-代数上の 測度に一意に拡張されます。さらに、そのような 2 つの関数と が同じ測度、つまり を誘導する場合、は定数です。逆に、 がコンパクト集合上で有限である実数直線のボレル部分集合上の測度である場合、によって定義される 関数はとなる 非減少右連続関数です。 ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (a,b]}$$${\displaystyle \mu {\big (}(a,b]{\big )}=F(b)-F(a)}$$${\displaystyle \mu_{F}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu_{F}=\mu_{G}}$${\displaystyle FG}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle F_{\mu}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle F_{\mu }(t)={\begin{cases}\mu ((0,t])&{\text{if }}t\geq 0\\-\mu ((t,0])&{\text{if }}t<0\end{cases}}}$$${\displaystyle F(0)=0}$${\displaystyle \mu _{F_{\mu }}=\mu }$

この特定の分布関数は、 が有限であるか無限であるかにかかわらず明確に定義されています。このため、 ^[3]一部の著者はを測度の分布関数とも呼んでいます。つまり、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle F_{\mu}}$${\displaystyle \mu}$

定義 3:測度空間 が与えられ、 がコンパクト集合上で有限である場合、 となるような の非減少右連続関数は に関連付けられた標準分布関数と呼ばれます。${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle F_{\mu}}$${\displaystyle F_{\mu}(0)=0}$$${\displaystyle \mu {\big (}(a,b])=F_{\mu }(b)-F_{\mu }(a)}$$${\displaystyle \mu}$

測度として、ルベーグ測度 を 選択する。 の定義により、 となる。 したがって、ルベーグ測度の分布関数は、 すべての に対して となる。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$ $${\displaystyle \lambda ((0,t])=t-0=t{\text{ および }}-\lambda ((t,0])=-(0-t)=t}$$$${\displaystyle F_{\lambda }(t)=t}$$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

• 測度空間上の実数値可測関数の分布関数は単調非増加関数であり、 上でサポートされている。ある に対して、${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle [0,\mu (X)]}$${\displaystyle d_{f}(s_{0})<\infty }$${\displaystyle s_{0}\geq 0}$$${\displaystyle \lim _{s\to \infty }d_{f}(s)=0.}$$
• 上の基礎測度が有限である場合、定義3の分布関数は定義2で与えられる分布関数の標準的な定義（確率論の意味）とわずかに異なり、前者の場合は、 後者の場合は、${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{\mu}}$${\displaystyle F(0)=0}$$${\displaystyle \lim _{t\to -\infty }F_{\mu }(t)=0{\text{ かつ }}\lim _{t\to \infty }F_{\mu }(t)=\mu (\mathbb {R} ).}$$
• 関心のあるオブジェクトが 内の測度である場合、定義 3 は無限測度に対してより有用である。これは、すべての に対してであるため、定義 2 の概念が役に立たなくなるからである。${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$${\displaystyle \mu ((-\infty ,t])=\infty }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$