三角分布

三角

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~a<b\,}$ ${\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,}$
サポート	${\displaystyle a\leq x\leq b\!}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{x<a の場合、\\{\frac {2(xa)}{(ba)(ca)}}&{\text{x=c の場合、\\[4pt]{\frac {2(bx)}{(ba)(bc)}}&{\text{x<x\leq b の場合、\\[4pt]0&{\text{x<b の場合.\end{cases}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(xa)^{2}}{(ba)(ca)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(bx)^{2}}{(ba)(bc)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
中央値	${\displaystyle {\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(ba)(ca)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(ba)(bc)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}$
モード	${\displaystyle c\,}$
分散	${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {ba}{2}}\right)}$
MGF の	${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(ba)(ca)(bc)t^{2}}}}$
CF	${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(ba)(ca)(bc)t^{2}}}}$

確率論と統計学において、三角分布は、下限がa、上限がb、モードがcである連続確率分布であり、a  <  bかつa  ≤  c  ≤  bです。

c  =  aまたはc  =  bの場合、分布は単純化されます。たとえば、a  = 0、b  = 1、c  = 1 の場合、PDFとCDF は次のようになります。

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}f(x)&=2x\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{array}}\right\}{\text{ }}0\leq x\leq 1 の場合}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}$

a  = 0、b  = 1、c = 0の場合のこの分布は、 X  = | X ₁  −  X ₂ | の分布です。ここで、X ₁、X _2は標準一様分布に従う 2 つの独立したランダム変数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}$

対称的なケースは、c = ( a + b ) / 2 のときに発生します。この場合、分布関数の別の形式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {(bc)-|cx|}{(bc)^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

a  = 0、b  = 1、c = 0.5の場合のこの分布 （モード（つまり、ピーク）はちょうど間隔の中央にあります）は、2 つの標準一様変数の平均の分布、つまりX  = ( X ₁  +  X ₂ ) / 2 の分布に対応します。ここで、X ₁、X ₂は、 [0, 1] の標準一様分布を持つ 2 つの独立したランダム変数です。 ^{[1]これは、2 つの変数の}ベイツ分布の場合です。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x^{2}-(2x-1)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}}$

区間（0, 1）の 一様分布から抽出されたランダム変量Uが与えられた場合、変量

${\displaystyle X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(ba)(ca)}}&{\text{ }}0<U<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(ba)(bc)}}&{\text{ }}F(c)\leq U<1\end{cases}}} の場合$^[2]

ここで、 はパラメータおよびを持つ三角分布に従います。これは累積分布関数から取得できます。 ${\displaystyle F(c)=(ca)/(ba)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$

三角分布は、通常、サンプル データが限られている母集団の主観的な説明として使用されます。特に、変数間の関係はわかっているが、データが不足している場合 (収集コストが高いためと考えられます) に使用されます。これは、最小値と最大値の知識と、最頻値に関する「ひらめきによる推測」^[3]に基づいています。これらの理由から、三角分布は「知識不足」分布と呼ばれています。

そのため、三角分布はビジネス上の意思決定、特にシミュレーションでよく使用されます。一般に、結果の分布についてあまりわかっていない場合(たとえば、最小値と最大値のみわかっている場合)、一様分布を使用できます。ただし、最も可能性の高い結果もわかっている場合は、その結果を三角分布でシミュレートできます。たとえば、企業財務を参照してください。

三角分布は、 PERT 分布とともに、最小値と最大値によって定義された間隔内で発生するイベントをモデル化するために、プロジェクト管理( PERTおよびクリティカル パス法(CPM)への入力として)でも広く使用されています。

対称三角分布はオーディオ ディザリングでよく使用され、TPDF (三角確率密度関数) と呼ばれます。

• 台形分布
• トーマス・シンプソン
• 3点推定
• 5つの数字の要約
• 7つの数字の要約
• 三角関数
• 中心極限定理— 三角分布は、2 つの一様ランダム変数を加算した結果としてよく発生します。言い換えると、三角分布は、多くの場合 (常にではありませんが)、中心極限定理加算プロセスの最初の反復の結果です (つまり)。この意味で、三角分布は自然に発生することがあります。より多くのランダム変数を加算するこのプロセスが継続すると (つまり)、分布は次第にベル型になります。${\textstyle n=2}$${\textstyle n\geq 3}$
• アーウィン・ホール分布— アーウィン・ホール分布を使用すると、三角形分布を簡単に生成できます。
• ベイツ分布— アーウィン・ホール分布に似ていますが、値が 0 ～ 1 の範囲に再スケールされます。後で再スケールおよびシフトして、0 ～ 1 の範囲外の他の三角形分布を作成できる三角形分布の計算に役立ちます。

• Weisstein、Eric W.「三角分布」。MathWorld。
• 三角形分布、decisionsciences.org
• 三角分布、brighton-webs.co.uk
• 三角分布の分散の証明、math.stackexchange.com