準静的ティモシェンコビーム ティモシェンコ梁（青色）の変形とオイラー・ベルヌーイ梁（赤色）の変形を比較した図。 ティモシェンコ梁の変形。法線が一定量だけ回転する。θ x = φ （ x ） {\displaystyle \theta _{x}=\varphi (x)} d w / d x {\displaystyle dw/dx} 軸方向の影響を考慮しない静的 ティモシェンコ梁理論では、梁の変位は次のように与えられると仮定される。
u x （ x 、 y 、 z ） = − z φ （ x ） ; u y （ x 、 y 、 z ） = 0 ; u z （ x 、 y ） = w （ x ） {\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)} どこ（ x 、 y 、 z ） {\displaystyle (x,y,z)} u x 、 u y 、 u z {\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} φ {\displaystyle \varphi } w {\displaystyle w} z {\displaystyle z}
支配方程式は、以下の連立常微分方程式 系である。
d 2 d x 2 （ E 私 d φ d x ） = q （ x ） d w d x = φ − 1 κ A G d d x （ E 私 d φ d x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}} 静的ケースにおけるティモシェンコ梁理論は、上記の最後の項を無視した場合、オイラー・ベルヌーイ理論と等価であり、この近似は、
3 E 私 κ L 2 A G 〜 1 \displaystyle {\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1} どこ
L {\displaystyle L} A {\displaystyle A} E {\displaystyle E} は弾性率 です。G {\displaystyle G} はせん断弾性率 です。私 {\displaystyle I} は面積の2次モーメント です。κ {\displaystyle \kappa } κ = 5 / 6 {\displaystyle \kappa =5/6} q （ x ） {\displaystyle q(x)} w {\displaystyle w} z {\displaystyle z} φ {\displaystyle \varphi } 2つの式を組み合わせると、一定の断面積を持つ均質な梁の場合、
E 私 d 4 w d x 4 = q （ x ） − E 私 κ A G d 2 q d x 2 {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}} 曲げモーメントM x x {\displaystyle M_{xx}} Q x {\displaystyle Q_{x}} w {\displaystyle w} φ {\displaystyle \varphi }
M x x = − E 私 ∂ φ ∂ x そして Q x = κ A G （ − φ + ∂ w ∂ x ） 。 {\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{および}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}
ティモシェンコ梁のひずみエネルギー ティモシェンコ梁のひずみエネルギーは、曲げとせん断によるひずみエネルギーの合計として表されます。これらの成分はどちらも変数に関して2次式です。ティモシェンコ梁のひずみエネルギー関数は次のように表すことができます。
W = ∫ [ 0 、 L ] E 私 2 （ d φ d x ） 2 + k G A 2 （ φ − d w d x ） 2 {\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}
例：片持ち梁 自由端に集中荷重がかかっている片持ち梁ティモシェンコ梁 片持ち梁 の場合、一方の境界は固定され、もう一方の境界は自由です。右手系座標系を 使用し、x {\displaystyle x} z {\displaystyle z} x {\displaystyle x} z {\displaystyle z} 軸と正のモーメントは時計回りの方向に作用します。また、応力結果 の符号規約は(M x x {\displaystyle M_{xx}} Q x {\displaystyle Q_{x}} z {\displaystyle z}
固定端がx = L {\displaystyle x=L} x = 0 {\displaystyle x=0} P {\displaystyle P} z {\displaystyle z} 自由体図は私たちに
− P x − M x x = 0 ⟹ M x x = − P x {\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px} そして
P + Q x = 0 ⟹ Q x = − P 。 {\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.} したがって、曲げモーメントとせん断力の式から、次の式が得られます。
P x = E 私 d φ d x そして − P = κ A G （ − φ + d w d x ） 。 {\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.} 最初の方程式の積分と境界条件の適用φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} x = L {\displaystyle x=L}
φ （ x ） = − P 2 E 私 （ L 2 − x 2 ） 。 {\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.} 2番目の式は次のように書ける。
d w d x = − P κ A G − P 2 E 私 （ L 2 − x 2 ） 。 {\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.} 境界条件の統合と適用w = 0 {\displaystyle w=0} x = L {\displaystyle x=L}
w （ x ） = P （ L − x ） κ A G − P x 2 E 私 （ L 2 − x 2 3 ） + P L 3 3 E 私 。 {\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.} 軸方向応力は次式で与えられる。
σ x x （ x 、 z ） = E ε x x = − E z d φ d x = − P x z 私 = M x x z 私 。 {\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}
動的ティモシェンコビーム 軸方向の影響を考慮しないティモシェンコ梁理論では、梁の変位は次のように与えられると仮定される。
u x （ x 、 y 、 z 、 t ） = − z φ （ x 、 t ） ; u y （ x 、 y 、 z 、 t ） = 0 ; u z （ x 、 y 、 z 、 t ） = w （ x 、 t ） {\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)} どこ（ x 、 y 、 z ） {\displaystyle (x,y,z)} u x 、 u y 、 u z {\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} φ {\displaystyle \varphi } w {\displaystyle w} z {\displaystyle z}
上記の仮定から出発して、振動を考慮したティモシェンコ梁理論は、連立線形偏微分方程式 で記述できます。[ 8 ]
ρ A ∂ 2 w ∂ t 2 − q （ x 、 t ） = ∂ ∂ x [ κ A G （ ∂ w ∂ x − φ ） ] {\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]} ρ 私 ∂ 2 φ ∂ t 2 = ∂ ∂ x （ E 私 ∂ φ ∂ x ） + κ A G （ ∂ w ∂ x − φ ） {\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)} 従属変数はw （ x 、 t ） {\displaystyle w(x,t)} φ （ x 、 t ） {\displaystyle \varphi (x,t)} オイラー・ベルヌーイ 理論とは異なり、角変位は別の変数であり、変位の傾きで近似されないことに注意してください。また、
ρ {\displaystyle \rho } 密度（ 線密度 ではない）です。A {\displaystyle A} E {\displaystyle E} は弾性率 です。G {\displaystyle G} はせん断弾性率 です。私 {\displaystyle I} は面積の2次モーメント です。κ {\displaystyle \kappa } κ = 5 / 6 {\displaystyle \kappa =5/6} q （ x 、 t ） {\displaystyle q(x,t)} m := ρ A {\displaystyle m:=\rho A} J := ρ 私 {\displaystyle J:=\rho I} w {\displaystyle w} z {\displaystyle z} φ {\displaystyle \varphi } これらのパラメータは必ずしも定数ではありません。
線形弾性、等方性、均質な一定断面の梁の場合、これら 2 つの式を組み合わせると次の式が得られます[ 9 ] [ 10 ]
E 私 ∂ 4 w ∂ x 4 + m ∂ 2 w ∂ t 2 − （ J + E 私 m κ A G ） ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 + m J κ A G ∂ 4 w ∂ t 4 = q （ x 、 t ） + J κ A G ∂ 2 q ∂ t 2 − E 私 κ A G ∂ 2 q ∂ x 2 {\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}} しかし、この式が誤りであることは容易に証明できます。qが定数でxやtに依存しない場合を考えてみましょう。小さな減衰が存在すると、tが無限大に近づくにつれてすべての時間微分がゼロになります。この場合、せん断項は存在せず、せん断変形が無視されるオイラー・ベルヌーイ梁理論になります。
ティモシェンコ方程式は臨界周波数を予測する ω C = 2 π f c = κ G A ρ 私 。 {\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.} f c {\displaystyle f_{c}} f c {\displaystyle f_{c}} [ 11 ]
軸方向の影響 梁の変位が次のように与えられる場合
u x （ x 、 y 、 z 、 t ） = u 0 （ x 、 t ） − z φ （ x 、 t ） ; u y （ x 、 y 、 z 、 t ） = 0 ; u z （ x 、 y 、 z 、 t ） = w （ x 、 t ） {\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)} どこu 0 {\displaystyle u_{0}} x {\displaystyle x}
m ∂ 2 w ∂ t 2 = ∂ ∂ x [ κ A G （ ∂ w ∂ x − φ ） ] + q （ x 、 t ） J ∂ 2 φ ∂ t 2 = N （ x 、 t ） ∂ w ∂ x + ∂ ∂ x （ E 私 ∂ φ ∂ x ） + κ A G （ ∂ w ∂ x − φ ） {\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}} どこJ = ρ 私 {\displaystyle J=\rho I} N （ x 、 t ） {\displaystyle N(x,t)}
N x x （ x 、 t ） = ∫ − h h σ x x d z {\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz} どこσ x x {\displaystyle \sigma _{xx}} 2 h {\displaystyle 2h}
軸方向の力の影響を考慮した複合梁方程式は次のとおりである。
E 私 ∂ 4 w ∂ x 4 + N ∂ 2 w ∂ x 2 + m ∂ 2 w ∂ t 2 − （ J + m E 私 κ A G ） ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 + m J κ A G ∂ 4 w ∂ t 4 = q + J κ A G ∂ 2 q ∂ t 2 − E 私 κ A G ∂ 2 q ∂ x 2 {\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}
減衰 軸方向の力に加えて、速度に比例する減衰力を仮定すると、
η （ x ） ∂ w ∂ t {\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}} ティモシェンコ梁の連立支配方程式は次の形式をとる。
m ∂ 2 w ∂ t 2 + η （ x ） ∂ w ∂ t = ∂ ∂ x [ κ A G （ ∂ w ∂ x − φ ） ] + q （ x 、 t ） {\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)} J ∂ 2 φ ∂ t 2 = N ∂ w ∂ x + ∂ ∂ x （ E 私 ∂ φ ∂ x ） + κ A G （ ∂ w ∂ x − φ ） {\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)} そして結合方程式は次のようになる。
E 私 ∂ 4 w ∂ x 4 + N ∂ 2 w ∂ x 2 + m ∂ 2 w ∂ t 2 − （ J + m E 私 κ A G ） ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 + m J κ A G ∂ 4 w ∂ t 4 + J η （ x ） κ A G ∂ 3 w ∂ t 3 − E 私 κ A G ∂ 2 ∂ x 2 （ η （ x ） ∂ w ∂ t ） + η （ x ） ∂ w ∂ t = q + J κ A G ∂ 2 q ∂ t 2 − E 私 κ A G ∂ 2 q ∂ x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}} この仮説的な 減衰力（粘性 に似ている）には注意点がある。粘性はビーム振動の減衰率を周波数に依存し振幅に依存しないものにするのに対し、経験的に測定された減衰率は周波数には依存せず、ビームのたわみの振幅に依存する。
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![{\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752aec3d718d6531ccab7073983884dbfa8cb1f)
![{\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ae3e2d14c1b5e59f0e4cd53c7a506b7d1111f8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c35d8e346f27ef78d0a9c29ac3449ed4fb94b21)
![${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72225eea89af02d344a6877126ab80e276b33c9)
