中性子輸送

中性子輸送（中性子工学とも呼ばれる）とは、中性子の運動と物質との相互作用を研究する学問である。中性子輸送方程式は中性子の放射伝達をモデル化したものであり、原子炉炉心や実験用・工業用中性子ビームの挙動を決定するために一般的に用いられる。

中性子輸送は、1800年代に気体運動論の研究に用いられたボルツマン方程式にルーツを持つ。しかし、1940年代に連鎖反応型原子炉が発明されるまで、大規模な発展は見られなかった。中性子分布が詳細に検討されるにつれ、単純な形状において洗練された近似解や解析解が見出された。しかし、計算能力の向上に伴い、中性子輸送の数値的手法が主流となった。現在も、大規模並列コンピュータを用いて、世界中の学術機関や研究機関で中性子輸送の研究が活発に行われている。中性子輸送は時間と空間の3次元に依存し、エネルギー変数も数桁（数MeVから数MeVまで）に及ぶため、計算上非常に困難である。現代の解法では、離散座標法、モンテカルロ法、あるいはその両方を組み合わせた手法が用いられている。

中性子輸送方程式は、中性子を保存するバランス式です。各項は中性子の増減を表し、バランス式は本質的に、中性子の増減が中性子の減少に等しいことを主張しています。それは次のように定式化されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \left({\frac {1}{v(E)}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {\hat {\Omega }} \cdot \nabla +\Sigma _{t}(\mathbf {r} ,E,t)\right)\psi (\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)=\クワッド }$${\displaystyle \quad {\frac {\chi _{p}\left({\mathbf {r}},E\right)}{4\pi }}\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\nu _{p}\left({\mathbf {r}},E^{\prime }\right)\Sigma _{f}\left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)\phi \left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)}$

${\displaystyle \quad +\sum _{i=1}^{N}{\frac {\chi _{di}\left({\mathbf {r}},E\right)}{4\pi }}\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)\quad }$

${\displaystyle \quad +\int _{4\pi }\mathrm {d} \Omega ^{\prime }\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\,\Sigma _{s}\!\!\left(\mathbf {r} ,E^{\prime }\rightarrow E,\mathbf {\hat {\Omega }} ^{\prime }\rightarrow \mathbf {\hat {\Omega }} ,t\right)\psi (\mathbf {r} ,E^{\prime },\mathbf {{\hat {\Omega }}^{\prime }} ,t)}$

${\displaystyle \quad +s(\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)}$

遅発中性子の前駆物質の式は次のとおりである。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial C_{i}}{\partial t}}({\mathbf {r}},t)dt={\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})\int _{0}^{\infty }dE\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)-\lambda _{i}({\mathbf {r}})C_{i}({\mathbf {r}},t),}$

${\displaystyle \quad i=1,...,N}$

表記法はすべて以下のとおりです。

輸送方程式は、位相空間の特定の部分（時間t、エネルギーE、位置）に適用できます。${\displaystyle \mathbf {r} ,}$および進行方向${\displaystyle \mathbf {\hat {\Omega }} .}$第1項は、システム内のニュートロンの時間変化率を表します。第2項は、対象となる空間領域へのニュートロンの出入りを表します。第3項は、その位相空間内で衝突するすべてのニュートロンを表します。右辺の第1項は、この位相空間における核分裂によるニュートロン生成を表し、第2項は、遅発中性子前駆物質（すなわち、中性子崩壊を起こす不安定な原子核）によるニュートロン生成を表します。右辺の第3項は、散乱によるニュートロンです。これは、別の領域での散乱相互作用の結果として、この位相空間領域に入ってくるニュートロンです。右辺の第4項は、一般的な発生源です。この方程式は通常、次の値を求めるために解かれます。${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,E),}$なぜなら、そうすることで反応速度を計算できるようになり、それは遮蔽や線量測定の研究において最も重要な要素となるからである。

原子炉物理学では、3次元炉心計算を行う際に、中性子輸送方程式は中性子拡散方程式で近似されることが多い。中性子拡散方程式は、角度中性子束の球面調和関数展開を行い、以下の仮定を置くことによって中性子輸送方程式から導出される。

• 中性子の方向の関数としてのルジャンドル多項式${\displaystyle {\mathbf {\hat {\Omega }}}}$次数が1以下である。
• 中性子源は等方性であり、
• 電流密度ベクトルの変化率${\displaystyle {\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E,t)}$衝突頻度よりもはるかに小さく、
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\Sigma _{s1}({\mathbf {r}},E'\to E,t){\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E',t)dE'=\int _{0}^{\infty }\Sigma _{s1}({\mathbf {r}},E\to E',t){\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E,t)dE'}$、 どこ${\displaystyle \Sigma _{sl}({\mathbf {r}},E'\to E,t)}$は次数 のルジャンドル多項式展開係数です${\displaystyle l}$巨視的散乱断面積の。^{[ 2 ] [ 4 ]}

さらに、中性子の速度がエネルギーに依存しないと仮定すると、1速中性子拡散方程式は次のようになります。^{[ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi ({\mathbf {r}},E,t)={\mathbf {\nabla }}\cdot D({\mathbf {r}},E){\mathbf {\nabla }}\phi ({\mathbf {r}},E,t)-\Sigma _{t}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)+\int _{0}^{\infty }dE'\Sigma _{s0}({\mathbf {r}},E'\to E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$${\displaystyle \qquad +\chi _{p}\left({\mathbf {r}},E\right)\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\nu _{p}\left({\mathbf {r}},E^{\prime }\right)\Sigma _{f}\left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)\phi \left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)+\sum _{i=1}^{N}\chi _{di}\left({\mathbf {r}},E\right)\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)+s(\mathbf {r} ,E,t)}$

どこ${\displaystyle D({\mathbf {r}},E)}$は拡散係数である。遅発中性子の前駆粒子に関する式およびその他の記号はすべて上記で定義されている。

中性子エネルギー領域を離散化することで、多群拡散方程式が得られます。^{[ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{v_{g}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {\nabla }}\cdot D_{g}({\mathbf {r}}){\mathbf {\nabla }}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)-\Sigma _{t,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)+\sum _{g'=1}^{G}\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}$${\displaystyle \qquad +\chi _{p,g}\left({\mathbf {r}}\right)\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\sum _{g'=1}^{G}\left(\nu \Sigma \right)_{f,g'}\left(\mathbf {r} ,t\right)\phi _{g'}\left(\mathbf {r} ,t\right)+\sum _{i=1}^{N}\chi _{di,g}\left({\mathbf {r}}\right)\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)+s_{g}(\mathbf {r} ,t)}$

どこ：

${\displaystyle \phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{v_{g}}}={\frac {1}{\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}}\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE{\frac {\phi ({\mathbf {r}},E,t)}{v(E)}}}$

${\displaystyle {\mathbf {\nabla }}\cdot D_{g}({\mathbf {r}}){\mathbf {\nabla }}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE{\mathbf {\nabla }}\cdot D({\mathbf {r}},E){\mathbf {\nabla }}\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle \Sigma _{t,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\Sigma _{t}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle \Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}$

${\displaystyle \chi _{p,g}({\mathbf {r}})=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\chi _{p}({\mathbf {r}},E)}$

${\displaystyle \left(\nu \Sigma \right)_{f,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\nu ({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle \chi _{di,g}({\mathbf {r}})=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\chi _{di}({\mathbf {r}},E)}$

${\displaystyle G}$はエネルギーグループの数であり、${\displaystyle E_{g}}$エネルギーグループ${\displaystyle g}$エネルギー群は次のように順序付けられています。${\displaystyle E_{g}<E_{g-1}}$。

解決しようとしている問題の種類に応じて、中性子輸送問題にはいくつかの基本的なタイプが存在する。

固定線源計算と臨界計算は、決定論的方法または確率論的方法のどちらでも解くことができます。決定論的方法では、輸送方程式（または拡散理論などの近似式）を微分方程式として解きます。モンテカルロ法などの確率論的方法では、測定された相互作用確率によって方向付けられるランダムウォークで、離散的な粒子の履歴を追跡し、平均化します。決定論的方法は通常、マルチグループアプローチを伴いますが、モンテカルロ法はマルチグループおよび連続エネルギー断面積ライブラリで動作できます。マルチグループ計算は通常反復的です。これは、グループ定数が中性子輸送計算の結果として決定されるフラックスエネルギープロファイルを使用して計算されるためです。

• 原子炉
• ボルツマン方程式
• 中性子散乱
• モンテカルロN粒子輸送コード

• Lewis, E.、および Miller, W. (1993). 中性子輸送の計算手法。アメリカ原子力学会。ISBN 0-89448-452-4。
• Duderstadt, J.、および Hamilton, L. (1976). 原子炉解析. ニューヨーク: Wiley. ISBN 0-471-22363-8。
• Marchuk , GI、および VI Lebedev (1986)。中性子輸送理論における数値計算法。Taylor & Francis。p.  123。ISBN 978-3-7186-0182-0。

• ANSWERSソフトウェアサービスウェブサイト
• LANL MCNP6 ウェブサイト
• LANL MCNPX ウェブサイト
• VTT Serpentのウェブサイト
• OpenMCのウェブサイト
• MIT CRPG OpenMOCウェブサイト
• トリポリ4ウェブサイト