離散座標法

^{熱放射[ 1 ]}または中性子放射^{[ 2 ]}のいずれの放射伝達理論においても、放射場の記述には、位置と方向に依存する強度関数が通常求められます。強度場は原理的には積分微分放射伝達方程式(RTE)から解くことができますが、厳密解は通常不可能であり、幾何学的に単純なシステムであっても、チャンドラセカールのH関数やチャンドラセカールのX関数およびY関数などの特殊な関数が含まれることがあります。^{[ 3 ]}離散座標法、またはS _n法は、 xyz領域と放射方向を指定する角度変数の両方を離散化することによってRTEを近似的に解く方法の1つです。この方法は、スブラマニヤン・チャンドラセカールが放射伝達の研究をしていたときに開発されました。

弾性散乱媒体中の時間非依存単色放射の場合、RTEは^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \nabla I(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )=\kappa I_{b}(\mathbf {r} )-\beta I(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )+{\frac {\sigma }{4\pi }}\int _{4\pi }I(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )\Phi (\mathbf {s} ,\mathbf {s'} )d\Omega '}$

ここで、右辺の第1項は放出の寄与、第2項は吸収の寄与、最後の項は媒質中の散乱の寄与を表す。変数${\displaystyle \mathbf {s} }$は放射の方向と変数を指定する単位ベクトルです${\displaystyle \mathbf {s'} }$は、方向からの散乱を計算するためのダミー積分変数です。${\displaystyle \mathbf {s'} }$方向へ${\displaystyle \mathbf {s} }$。

離散座標法では、全立体角は$4π$はいくつかの離散的な角度間隔に分割され、連続的な方向変数${\displaystyle \mathbf {s} }$離散的な方向ベクトルのセットに置き換えられる${\displaystyle \mathbf {s_{j}} }$すると、RTE の散乱積分は、解を問題にする和になります^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}I(\mathbf {r} ,\mathbf {s_{j}} )\Phi (\mathbf {s_{j}} ,\mathbf {s_{i}} )}$

数字が${\displaystyle w_{j}}$は、異なる方向ベクトルに対する重み係数です。これにより、RTEは多重インデックスオブジェクトに対する線形方程式系となり、インデックスの数は問題の次元と対称性によって決まります。

結果として得られる線形システムはガウス・ジョルダン消去法で直接解くことも可能ですが、^{[ 2 ]}線形システムの行列を格納するためのメモリ要件が大きいため問題があります。別の方法として反復法を用いる方法があり、所定の精度に必要な反復回数は散乱の強さに依存します。^{[ 4 ] [ 5 ]}

離散座標法、またはその変形法は、COMSOL Multiphysics ^{[ 6 ]}やFire Dynamics Simulator ^{[ 7 ]}などのいくつかの物理および工学シミュレーションプログラムで放射強度を解くために使用されています。

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