入口長さ（流体力学）

流体力学において、入口長さとは、流れがパイプに入ってから完全に発達するまでに流れが移動する距離のことである。 ^{[1]入口長さとは、}入口領域の長さのことであり、入口領域とは、パイプの入口に続く領域であり、パイプの内壁から発生する効果が、膨張する境界層として流れに伝播する領域である。境界層が膨張してパイプ全体を満たすと、発達する流れは完全に発達した流れとなり、パイプに沿った距離が増加しても流れの特性は変化しなくなる。さまざまな流れの状態を表すために、多くの異なる入口長さが存在する。流体力学的入口長さは、パイプ壁から伝播する粘性力によって引き起こされる速度プロファイルの形成を表す。熱的入口長さは、温度プロファイルの形成を表す。^{[2]入口長さを認識しておくことは、流体}流量計 などの計測機器を効果的に配置するために必要となる場合がある。^[3]

流体力学的入口領域とは、パイプの内壁から伝播する粘性力により、パイプに入る流体が速度プロファイルを形成するパイプの領域を指します。 ^[1]この領域は、不均一な流れを特徴とします。^{[1]流体は均一な速度でパイプに入り、パイプの表面と接触している層の流体粒子は、}滑り止め状態のため完全に停止します。流体内の粘性力により、パイプの表面と接触している層は隣接する層の動きに抵抗し、隣接する流体の層を徐々に減速させ、速度プロファイルを形成します。^[4]質量保存則が成り立つためには、パイプの中心にある流体の層の速度が増加し、パイプの表面近くの流体の層の速度が低下したことを補います。これにより、パイプの断面全体に速度勾配が形成されます。^[5]

せん断粘性力が顕著な層は境界層と呼ばれます。^[6]この境界層は仮説的な概念です。パイプ内の流れを2つの領域に分割します。^[6]

1. 境界層領域：粘性効果と速度変化が顕著な領域。^[6]
2. 非回転（コア）流れ領域：粘性効果と速度変化が無視できる領域。非粘性コアとも呼ばれる。^[2]

流体がパイプに流入すると、境界層の厚さはゼロから流体の流れの方向に向かって徐々に増加し、最終的にパイプの中心に達してパイプ全体を満たします。パイプの入口から境界層がパイプ全体を覆う点までのこの領域は、流体力学的入口領域と呼ばれ、この領域でのパイプの長さは流体力学的入口長さと呼ばれます。この領域では、速度プロファイルが発達するため、流れは流体力学的に発達する流れと呼ばれます。この領域を過ぎると、速度プロファイルは完全に発達し、変化せずに続きます。この領域は、流体力学的に完全に発達した領域と呼ばれます。ただし、正規化された温度プロファイルも一定になるまでは、完全に発達した流体の流れではありません。^[6]

層流の場合、完全に発達した領域での速度プロファイルは放物線状になりますが、乱流の場合は、半径方向の激しい混合と渦運動により、速度プロファイルは少し平坦になります。

完全に発達した領域では速度プロファイルは変化しません。

流体力学的に完全に発達した速度プロファイル層流:

$${\displaystyle {\frac {\partial u(r,x)}{\partial x}}=0\quad \Rightarrow u=u(r)}$$ ^[6]

流れ方向に ある場所です。${\displaystyle x}$

流体力学的入口領域では、壁面せん断応力 は、境界層の厚さが最も薄いパイプ入口で最高になります。せん断応力は流れの方向に沿って減少します。^[6]そのため、圧力降下はパイプの入口領域で最大になり、パイプ全体の平均摩擦係数が増加します。この摩擦​​係数の増加は、長いパイプでは無視できます。^[6]完全に発達した領域では、流れの圧力勾配とせん断応力はバランスしています。^[6]${\displaystyle \tau_{w}}$

パイプに沿った流体力学的入口領域の長さは、流体力学的入口長さと呼ばれます。これは流れのレイノルズ数の関数です。層流の場合、この長さは次のように表されます。

$${\displaystyle L_{h,laminar}=0.0575Re_{D}D}$$^[2]

ここで、はレイノルズ数、はパイプの直径です。しかし、乱流の場合、 ${\displaystyle R_{e}}$${\displaystyle D}$

$${\displaystyle L_{h,turbulent}=1.359D(Re_{D})^{1/4}.}$$^[8]

したがって、乱流の入口長さは層流に比べてはるかに短くなります。ほとんどの実用的なエンジニアリング アプリケーションでは、この入口効果はパイプの長さが直径の 10 倍を超えると重要ではなくなるため、次のように近似されます。

$${\displaystyle L_{h,turbulent}\approx 10D}$$^[6]
他の著者は、より長い入口の長さを挙げている。例えば、

• ニクラセは^[9]を推奨し、${\displaystyle 40D}$
• Lienらは高レイノルズ流を推奨している。^[10]${\displaystyle 150D}$

パイプの断面が円形でない場合は、少し変更するだけで同じ式を使用して入口の長さを見つけることができます。新しいパラメータ「水力直径」は、非円形パイプの流量を円形パイプの流量に関連付けます。これは、断面積の形状が誇張されない限り有効です。水力直径は次のように定義されます。

$${\displaystyle D_{h}={\frac {4A}{P}}}$$^[6]

ここで、は断面積、はパイプの濡れた部分の周囲長です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$

パイプ内の完全に発達した流れ領域（層流）内の小さな体積要素に対して力のバランスをとることで、半径のみの関数として速度が得られます。つまり、速度は入口点からの軸方向の距離には依存しません。^[6]半径の関数としての速度は次のようになります。

$${\displaystyle u(r)=-{\frac {R^{2}}{4\mu }}{\frac {dP}{dx}}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)}$$ ^[6]
ここで定数である。 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}}$

平均速度の定義は次のように与えられる。

$${\displaystyle V_{avg}={\frac {\int u\mathrm {d} A}{A_{c}}}}$$

ここで断面積です。 ${\displaystyle A_{c}}$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{avg}&={\frac {2}{R^{2}}}\int _{0}^{R}u(r)r\mathrm {d} r\\&=-{\frac {2}{R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {R^{2}}{4\mu }}{\frac {dP}{dx}}(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}})r\mathrm {d} r\\&=-{\frac {R^{2}}{8\mu }}{\frac {dP}{dx}}\end{aligned}}}$$^[6]

完全に発達した流れの場合、最大速度は になります。したがって、 ${\displaystyle r=0}$

$${\displaystyle U_{max}=2V_{avg}.}$$^[6]

熱入口長とは、パイプに流入する流体が安定した形状の温度プロファイルを形成するまでの距離です。完全に発達した温度プロファイルの形状は、パイプの内壁に沿った温度と熱流束の状態、および流体の特性によって決まります。^[2]

パイプ内で完全に発達した熱流は、次の状況で考えることができます。パイプの壁が常に加熱または冷却され、対流による壁から流体への熱流束が一定値である場合、流体のバルク温度は流れの方向に沿ってそれぞれ一定の割合で着実に増加または減少します。

一例として、電気加熱パッドで完全に覆われたパイプがあり、パッドからの均一な熱流束が達成された後に流れが導入されます。流体の入口から少し離れたところで、流体の熱伝達係数が一定になり、温度プロファイルが流れに沿って同じ形状になると、完全に発達した熱流が達成されます。^[11]この距離は熱入口長さとして定義され、エンジニアが効率的な熱伝達プロセスを設計する上で重要です。

層流の場合、熱入口長さはパイプ径と無次元レイノルズ数およびプラントル数の関数である。^[2]

$${\displaystyle \left({\frac {x_{fd,t}}{D}}\right)_{laminar}\approx 0.05Re_{D}Pr}$$^[2]

どこ

• ${\displaystyle Re_{D}}$レイノルズ数（パイプの直径に基づく）であり、
• ${\displaystyle Pr}$プラントル数です。

プラントル数は流体力学的入口長さを修正して熱入口長さを決定します。プラントル数は、運動量拡散率と熱拡散率の比の無次元数です。^[5]プラントル数が1より大きい流体の熱入口長さは、流体力学的入口長さよりも長くなり、プラントル数が1未満の場合は短くなります。たとえば、溶融ナトリウムのプラントル数は0.004と低いため、^[12]熱入口長さは水力学的入口長さよりも大幅に短くなります。

乱流の場合、熱入口長さはパイプ径のみに基づいて近似することができます。^[2]

$${\displaystyle \left({\frac {x_{fd,t}}{D}}\right)_{乱流}\approx 10}$$^[2]

どこ

• ${\displaystyle x_{fd,t}}$熱入口長さであり、
• ${\displaystyle D}$パイプの内径です。

流れの温度プロファイルの発達は、パイプの内面と流体の熱伝達によって決まる条件によって決まります。^[2]熱伝達は、一定の熱流束または一定の表面温度の結果である可能性があります。一定の熱流束は、パイプの周りに巻かれたヒートテープなどの熱源からのジュール熱によって引き起こされる可能性があります。 ^[13]一定の温度条件は、パイプ表面での飽和蒸気の凝縮などの相転移によって生成される可能性があります。^[14]

ニュートンの冷却の法則は、流体とパイプの間の熱輸送の主な形態である対流を説明しています。

$${\displaystyle q''_{s}=h(T_{s}-T_{m})}$$^[2]

どこ

• ${\displaystyle q''_{s}}$流体への熱流束であり、
• ${\displaystyle h}$は対流係数であり、
• ${\displaystyle T_{s}}$表面温度であり、
• ${\displaystyle T_{m}}$平均河川水温です​​。

表面熱流束が一定であれば 流れが発達するにつれて一定となり、表面温度が一定であればゼロに近づく。^[2]${\displaystyle T_{s}-T_{m}}$${\displaystyle T_{s}-T_{m}}$

流体力学的に発達した流れとは異なり、温度が継続的に周囲温度に近づくため、一定のプロファイル形状を使用して熱的に完全に発達した流れを定義します。 ^[2] プロファイル形状の変化の無次元解析により、流れが熱的に完全に発達したタイミングを定義します。

熱的に完全に発達した流れの要件:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\biggl (}{\frac {T_{s}-T}{T_{s}-T_{m}}}{\Biggr )}_{fd,t}=0}$$^[2]

熱的に発達した流れでは、パイプの表面温度と流れの平均温度の差がパイプの表面温度とパイプ境界付近の流体の温度差よりも大きいため、発達した流れに比べて熱伝達が減少します。^[2]

濃度入口長さは、流れの濃度プロファイルが完全に発達するために必要な長さを表します。濃度入口長さは、シュミット数を使用して流体力学的入口長さと関連付けるか、実験的手法によって決定できます。[ 15 ^]シュミット数は、運動量拡散率と質量拡散率の比を表します。^[2]

$${\displaystyle x_{fd,c}\approx 0.05DRe_{D}Sc}$$^[2]

どこ

• ${\displaystyle x_{fd,c}}$集中入口長さ、
• ${\displaystyle D}$パイプの内径は
• ${\displaystyle Re_{D}}$はレイノルズ数（パイプの直径に基づく）であり、
• ${\displaystyle Sc}$シュミット数です。

入口の長さを理解することは、流れシステムの設計と解析にとって重要です。入口領域は、パイプの完全に発達した領域とは異なる速度、温度、およびその他のプロファイルを持ちます。

流量計などの多くの種類の流量計測機器は、適切に機能するためには完全に発達した流れが必要です。 ^[3]渦流量計や差圧流量計などの一般的な流量計は、流体力学的に完全に発達した流れを必要とします。流体力学的に完全に発達した流れは、通常、流量計の前に長くてまっすぐなパイプ部分を設けることで実現されます。あるいは、フローコンディショナーや矯正装置を使用して、必要な流れを作り出すこともできます。^[17]

風洞は、物体の空気力学をテストするために、非粘性気流を使用します。乱流を制限する多数の平行ダクトで構成される整流器は、非粘性流を生成するために使用されます。^[18] 風洞の設計では、入口の長さを考慮する必要があります。これは、テストされる物体が整流器と入口の長さの間の非回転流領域に配置されなければならないためです。^[19]

パイプの入口での流れの発達と同様に、流速プロファイルはパイプの出口の前で変化します。出口の長さは入口の長さよりもはるかに短く、中程度から高いレイノルズ数では重要ではありません。^[20]

層流の水力出口長さは次のように近似できる: ^[20]

$${\displaystyle \left({\frac {x}{D}}\right)_{Lam}\approx {\begin{cases}{\frac {1}{2}}&{\text{Low }}Re\\0&Re>100\end{cases}}}$$

どこ

• ${\displaystyle x}$出口の長さは
• ${\displaystyle D}$パイプの内径であり、
• ${\displaystyle Re}$レイノルズ数です。

• 流体力学
• 熱伝達
• 層流
• 熱入口長さ
• 乱流
• 粘度