テイケンスの定理

動的システムの研究において、遅延埋め込み定理は、そのシステムの状態の一連の観測からカオス的動的システムを再構成できる条件を与える。再構成では、滑らかな座標変更で変化しない動的システムの特性（すなわち、微分同相写像）は保存されるが、位相空間における構造の幾何学的形状は保存されない。

テイケンスの定理は、1981 年にフロリステイケンスが提唱した遅延埋め込み定理です。この定理は、一般的な関数で行われた観測から滑らかなアトラクターを再構築できる条件を提供します。その後の結果では、滑らかなアトラクターが任意のボックスカウント次元のセットに置き換えられ、一般的な関数のクラスが他の関数のクラスに置き換えられました。

これはアトラクター再構築に最も一般的に使用される方法である。^[1]

遅延埋め込み定理は離散時間力学系に対してはより簡単に述べられる。力学系の状態空間は $ν$ 次元多様体 $M$ である。力学は滑らかな写像で与えられる。

f:M\to M.

ダイナミクス $f が$ ボックスカウント次元 $d$ $A$ を持つストレンジアトラクターを持つと仮定する。ホイットニーの埋め込み定理のアイデアを使用すると、 $A は$ $k$ 次元ユークリッド空間に次のように埋め込むことができる。 $A\subset M$

k>2d_{A}.

つまり、 $A$ をに写像する微分同相写像 $φ$ が存在し、 $φ$ の導関数は完全階数を持ちます。 $\mathbb {R} ^{k}$

遅延埋め込み定理は、観測関数を使用して埋め込み関数を構築します。観測関数は2回微分可能で、アトラクター $A$ の任意の点に実数を関連付ける必要があります。また、典型的でなければならないため、その導関数はフルランクであり、その成分に特別な対称性はありません。遅延埋め込み定理は、関数 $\alpha :M\to \mathbb {R}$

\varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}

は、ストレンジアトラクター $Aの$ 埋め込みである。 $\mathbb {R} ^{k}.$

簡易版

次元状態ベクトルが、未知ではあるが連続的で（決定的に）決定論的なダイナミクスに従って進化すると仮定します。また、1 次元の観測可能量はの滑らかな関数であり、のすべての成分に「結合」されていると仮定します。これで、いつでも現在の測定値だけでなく、何らかの遅延の倍数だけ離れた時間に行われた観測値なども見ることができます。遅延を使用すると、次元ベクトルが得られます。遅延の数が増えるにつれて、遅延空間内の動きはますます予測可能になり、おそらく極限では決定論的になると予想できます。実際、遅延ベクトルのダイナミクスは有限次元で決定論的になります。それだけでなく、決定論的ダイナミクスは元の状態空間のダイナミクスと完全に同等です（正確には、それらは滑らかで可逆な座標変換、つまり微分同相写像によって関連しています）。実際、定理によれば、次元に達すると決定論が現れ、最小の埋め込み次元はそれより小さくなることが多い。^[2]^[3] $d$ $x_{t}$ $y$ $x$ $x$ $y(t)$ $\tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }$ $k$ $k$ $k\to \infty$ $2d+1$

遅延の選択

テイケンスの定理は、通常、ノイズによる汚染がある実験データからストレンジアトラクターを再構築するために使用されます。そのため、遅延時間の選択が重要になります。ノイズのないデータの場合は、どのような遅延時間を選択しても有効ですが、ノイズのあるデータの場合は、遅延時間が不適切に選択されると、アトラクターがノイズによって破壊されます。

最適な遅延は通常、アトラクターの周りの平均軌道周期の約10分の1から半分です。^[4]^[5]

参照

参考文献

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^ バランスキ、クシシュトフ;ガットマン、ヨナタン。シピワク、アダム (2020-09-01)。「確率的テイケンズ定理」。非線形性。33 (9): 4940–4966。arXiv : 1811.05959。Bibcode :2020Nonli..33.4940B。土井：10.1088/1361-6544/ab8fb8。ISSN 0951-7715。S2CID 119137065。
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さらに読む

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R. Mañé (1981)。「特定の非線形写像のコンパクト不変集合の次元について」。DA Rand および L.-S. Young (編)。動的システムと乱流、数学講義ノート、第 898 巻。Springer-Verlag。pp. 230–242。
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外部リンク

[1] ScientioのChaosKit製品は、埋め込みを使用して分析と予測を作成します。アクセスは、Webサービスとグラフィックインターフェイスを介してオンラインで提供されます。
[2] 経験的動的モデリングツールpyEDMとrEDMは、分析、予測、因果推論に埋め込みを使用します。

[1] Sauer, Timothy D. (2006-10-24). 「アトラクター再構築」. Scholarpedia . 1 (10): 1727. Bibcode :2006SchpJ...1.1727S. doi : 10.4249/scholarpedia.1727 . ISSN 1941-6016.

[2] Shalizi, Cosma R. (2006). 「複雑系科学の方法と技術: 概要」。Deisboeck, ThomasS; Kresh, J.Yasha (編)。バイオメディカルにおける複雑系科学。生物医学工学のトピックス国際ブックシリーズ。Springer US。pp. 33–114。arXiv : nlin/0307015。doi : 10.1007/978-0-387-33532-2_2。ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113。

[3] バランスキ、クシシュトフ;ガットマン、ヨナタン。シピワク、アダム (2020-09-01)。「確率的テイケンズ定理」。非線形性。33 (9): 4940–4966。arXiv : 1811.05959。Bibcode :2020Nonli..33.4940B。土井：10.1088/1361-6544/ab8fb8。ISSN 0951-7715。S2CID 119137065。

[4] ストロガッツ、スティーブン (2015)。「12.4 化学カオスとアトラクター再構築」。非線形ダイナミクスとカオス: 物理学、生物学、化学、工学への応用(第 2 版)。ボルダー、コロラド州。ISBN 978-0-8133-4910-7. OCLC 842877119.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[5] Fraser, Andrew M.; Swinney, Harry L. (1986-02-01). 「相互情報量からのストレンジアトラクターの独立座標」 . Physical Review A. 33 ( 2): 1134–1140. Bibcode :1986PhRvA..33.1134F. doi :10.1103/PhysRevA.33.1134. PMID 9896728.