スーパーファクタリアル

数学、より具体的には数論 において、正の整数の超階乗は、最初の階乗の積である。これらは、階乗の任意の集合の積である ジョルダン・ポリア数の特殊なケースである。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

番目の超階乗は次のように定義される: ^[1]空の積 の通常の慣例に従うと、0 の超階乗は 1 である。から始まる超階乗の列は次のようになる: ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathit {sf}}(n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathit {sf}}(0)=1}$

階乗がガンマ関数によって連続的に補間できるのと同様に、超階乗はバーンズG関数によって連続的に補間できる。^[2]

素数を法とする階乗の振る舞いに関するウィルソンの定理の類似物によれば、 が奇数の素数 であるとき 、 は二重階乗の表記である。^[3] ${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},}$$${\displaystyle !!}$

あらゆる整数 に対して、その数は平方数です。これは、階乗の積としての の公式において、階乗の 1 つ（真ん中の）を省略すると平方積になる、と表現できます。 ^[4]さらに、任意の整数が与えられた場合、それらの 2 つの差の積は常に の倍数であり、与えられた数が連続している場合は超階乗に等しくなります。^[1]${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathit {sf}}(4k)/(2k)!}$${\displaystyle {\mathit {sf}}(4k)}$${\displaystyle (2k)!}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathit {sf}}(n)}$

• ワイスシュタイン、エリック W.、「スーパーファクタリアル」、MathWorld