層状構造

微分位相幾何学は数学の一分野であり、ストラティフォールドは、ある種の特異点が許容される微分多様体の一般化である。より具体的には、ストラティフォールドは（場合によっては）異なる次元の微分多様体に層状に分割される。ストラティフォールドは、新しいホモロジー理論を構築するために使用できる。例えば、通常のホモロジーに対する新しい幾何学的モデルを提供する。ストラティフォールドの概念はマティアス・クレックによって考案された。基本的な考え方は位相的に層状化された空間の考え方と似ているが、微分位相幾何学に適合させたものである。

層状構造に入る前に、空間上の滑らかな構造の最小限の概念を捉える予備的な概念を定義します。微分空間（シコルスキーの意味での）は、ペアです。${\displaystyle (X,C),}$ここで、Xは位相空間であり、Cは連続関数の部分代数である。${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$関数がCに属するのは、それが局所的にCに属し、かつ${\displaystyle g\circ \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right):X\to \mathbb {R} }$C では${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$滑らかで${\displaystyle f_{i}\in C.}$簡単な例として、X を滑らかな多様体とし、Cを滑らかな関数のみとします。

一般的な微分空間の場合${\displaystyle (X,C)}$そして、多様体の場合と同様に、X内の点x を接空間として定義することができる。${\displaystyle T_{x}X}$xにおける関数芽のすべての導関数のベクトル空間として定義します。層を定義します。 ${\displaystyle X_{i}=\{x\in X:T_{x}X}$次元はiである${\displaystyle \}。}$n次元多様体Mに対して、${\displaystyle M_{n}=M}$そして他のすべての層は空である。これで、複数の層が空でない場合もある層状構造の定義に進む準備が整いました。

k次元層状構造は微分空間である${\displaystyle (S,C),}$ここで、Sは可算基底位相を持つ局所コンパクトハウスドルフ空間である。すべてのスケルタは閉じている必要がある。さらに、以下のことを仮定する。

1. の${\displaystyle \left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)}$これらはi次元の滑らかな多様体である。
2. Sのすべてのxに対して、制限は茎の同型を定義する${\displaystyle C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.}$
3. すべての接空間の次元は ≤ kです。 
4. Sの各xとxの任意の近傍Uに対して、関数が存在する。${\displaystyle \rho :U\to \mathbb {R} }$と$\rho(x)\neq 0$そして${\displaystyle {\text{supp}}(\rho )\subset U}$（バンプ機能）

n次元層状構造は、その ( n − 1) 層が空で、最上層が向き付けられている場合に、向き付けられていると呼ばれる。境界を持つ層状構造、いわゆるc 層状構造も定義できる。これらはペアとして定義される。  ${\displaystyle (T,\partial T)}$位相空間の${\displaystyle T-\partial T}$n次元層状構造であり、${\displaystyle \partial T}$これは、( n - 1)次元の層状構造であり、カラーの同値類も含まれる。  

層状構造の重要なサブクラスとして、正則層状構造があります。これは、 i 層内の点の周囲を局所的に見ると、i層に( n − i ) 次元の層状構造を掛けたものと大まかに特徴づけることができます。これは、一般的に見られるほとんどの層状構造で満たされる条件です。  

層状多様体の例は数多く存在する。まず最初に検討すべき例は、多様体M上の開錐である。Sから実数への連続関数がCに属するのは、それが上で滑らかである場合に限ると定義する。${\displaystyle M\times (0,1)}$そして、それは円錐点の周りで局所的に一定です。最後の条件は、層状構造の定義の点 2 により自動的に満たされます。この構成では、 M を層状構造Sに置き換えることができます。円錐は、Sが向き付けられており、かつゼロ次元でない場合のみ向き付けられます。底面を持つ (閉じた) 円錐を考えると、境界Sを持つ層状構造が得られます。 

層状構造の他の例としては、多様体の一点コンパクト化と懸垂、孤立した特異点のみを持つ（実）代数多様体、および（有限）単体複体などが挙げられる。

この節では、すべての層状構造が正則であると仮定します。2つの写像を${\displaystyle S,S'\to X}$2 つの向き付けられたk次元コンパクト層状構造から空間Xへの写像は、境界S + ( − S ' ) を持つ向き付けられた ( k  +  1) 次元コンパクト層状構造Tが存在し、Xへの写像がTに拡張される場合に境界付きとなる。このような写像の同値類の集合は、   ${\displaystyle S\to X}$は、${\displaystyle SH_{k}X.}$これらの集合は実際には、和集合を加算とするア​​ーベル群の構造を持っています。層状構造の微分位相を十分に展開することで、これらがホモロジー理論を定義することを示すことができます。明らかに、${\displaystyle SH_{k}({\text{point}})=0}$のために${\displaystyle k>0}$向き付けられたすべての層状多様体S は、その円錐の境界であり、向き付けられているのは、${\displaystyle \dim(S)>0.}$示すことができるのは${\displaystyle SH_{0}({\text{point}})\cong \mathbb {Z} .}$したがって、アイレンベルク・スティーンロッドの一意性定理により、${\displaystyle SH_{k}(X)\cong H_{k}(X)}$空間X は、 CW 複体とホモトピー的に同値であり、H は特異ホモロジーを表します。他の空間では、これら 2 つのホモロジー理論は同型である必要はありません (例として、無限種数の表面の一点コンパクト化があります)。

層状構造を用いて同変ホモロジーを定義する簡単な方法もあります。Gをコンパクトリー群とします。このとき、上記と同様に、 G作用を持つ空間Xへの層状構造の境界理論を定義できます。ただし、すべての層状構造が向きを保存する自由なG作用を備え、すべての写像が G 同変である必要があります。${\displaystyle SH_{k}^{G}(X)}$退屈な授業。証明できる${\displaystyle SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)}$CW複体と同値なすべてのXについて。

種数とは、境界環から別の環への環準同型のことである。例えば、オイラー標数は環準同型を定義する。$\displaystyle \Omega ^{O}({\text{point}})\to \mathbb {Z} /2[t]}$向き付けされていない境界環から、署名は環準同型を定義する${\displaystyle \Omega ^{SO}({\text{point}})\to \mathbb {Z} [t]}$向き付けられた境界環から。ここで、tは、最初のケースでは次数が1、2番目のケースでは次数が4 である。これは、 4で割り切れる次元の多様体のみが非ゼロの符号を持つことができるためである。これらの準同型の左辺は、一点で評価されたホモロジー理論である。層状構造の助けを借りて、右辺がそれぞれ一点で評価されたこれらのホモロジー理論、オイラーホモロジー、およびヒルツェブルフホモロジーとなるようなホモロジー理論を構築することが可能である。

閉じた埋め込みがあると仮定します。${\displaystyle i:N\hookrightarrow M}$向き付けられた法束を持つ多様体の場合、ウムケール写像を定義できます。${\displaystyle H_{k}(M)\to H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).}$一つの可能​​性は、層状構造を用いてクラスを表現することである。${\displaystyle x\in H_{k}(M)}$層状構造によって${\displaystyle f:S\to M.}$次に、ƒ をNに横断するようにします。SとNの交差は、 Nへの写像を持つ新しい層状構造S 'を定義し、これはクラスを表します。 ${\displaystyle H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).}$この構成は、有限余次元のヒルベルト多様体の埋め込みの文脈で繰り返すことが可能であり、弦トポロジーで使用できる。

• M. Kreck、『微分代数トポロジー：層状構造からエキゾチックな球面まで』、AMS（2010）、ISBN 0-8218-4898-4
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