電磁放射の偏光状態を表す値のセット
ストークスのI、Q、U、Vパラメータ ストークスパラメータは 、 電磁放射 の 偏光 状態を表す一連の値です 。これらは 、1851年に ジョージ・ガブリエル・ストークスによって定義されました [1] [2]。 これは、非 干渉性または部分偏光放射をその全 強度 ( I )、(分数) 偏光度 ( p )、および 偏光楕円 の形状パラメータで表す、より一般的な説明の数学的 に便利な代替手段として定義されました。光学系が光の偏光に与える影響は、入力光のストークスベクトルを作成し、 ミュラー計算 を適用して、システムを出る光のストークスベクトルを取得することで決定できます。これらは、直接観測可能な現象から決定できます。元のストークスの論文は、 1942年に フランシス・ペラン [3] と1947年に スブラハマニャン・チャンドラセカール [4] によって独立に発見され、 [5] ストークスパラメータと名付けられました。
定義 ポアンカレ球 パラメータ ψ および χ との関係を示す偏光楕円。 ポアンカレ球は、 最後 の 3 つのストークスパラメータを 球座標 でパラメータ化したものです。 ポアンカレ球面上の偏光状態の描写 ストークスパラメータ S 0 、 S 1 、 S 2 、 S 3 と強度および偏光楕円パラメータの関係は、以下の式と右の図に示されています。
S
0
= 私
S
1
= 私 p コス 2 ψ コス 2 χ
S
2
= 私 p 罪 2 ψ コス 2 χ
S
3
= 私 p 罪 2 χ
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}
ここで 、、 およびは、 直交座標 の 3 次元ベクトルの 球座標 です 。 はビームの全強度、および は偏光度で、 によって制約されます 。前の係数 2 は 、任意の偏光楕円が 180° 回転したものと区別できないことを表します。また、前の係数 2 は、 楕円が半軸の長さを入れ替えて 90° 回転させたものと区別できないことを示しています。偏光の位相情報は、ストークス パラメータには記録されません。4 つのストークス パラメータは、それぞれ I 、 Q 、 U 、および V と表記されることがあります。
私 p
{\displaystyle Ip}
2 ψ
{\displaystyle 2\psi}
2 χ
{\displaystyle 2\chi}
（
S
1
、
S
2
、
S
3
）
{\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}
私
{\displaystyle I}
p
{\displaystyle p}
0 ≤ p ≤ 1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
ψ
{\displaystyle \psi}
χ
{\displaystyle \chi}
ストークスパラメータが与えられれば、 次の方程式で
球面座標を解くことができます。
私
=
S
0
p
=
S
1
2
+
S
2
2
+
S
3
2
S
0
2 ψ
=
1つの r ｃ t 1つの ん
S
2
S
1
2 χ
=
1つの r ｃ t 1つの ん
S
3
S
1
2
+
S
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}
ストークスベクトル ストークスパラメータは、 ストークスベクトル と呼ばれるベクトルに結合されることが多い。
S →
=
（
S
0
S
1
S
2
S
3
）
=
（
私
質問
あなた
五
）
{\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}
ストークス ベクトルは、 非偏光、部分偏光、完全偏光の 空間に広がります。比較すると、 ジョーンズ ベクトルは 完全偏光の空間にのみ広がりますが、 コヒーレント 光に関する問題にはより便利です。4 つのストークス パラメータは空間の
優先 座標系 ではなく、簡単に測定または計算できるため選択されました。
使用される物理的な規則によっては、成分 の符号があいまいになることに注意してください。実際には、ビームを光源に向かって見下ろすとき（光の伝播方向と反対）と、ビームを光源から離れて見下ろすとき（光の伝播方向と一致）の 2 つの異なる規則が使用され、ストークス パラメータが定義されます。これら 2 つの規則により 、 の符号が異なり、規則を選択してそれに従う必要があります。
五
{\displaystyle V}
五
{\displaystyle V}
例 以下に、光の偏光の一般的な状態に対するいくつかのストークス ベクトルを示します。
別の説明 単色 平面波は 、その 伝搬ベクトル 、 、および 基底 における 電場 、 および の 複素振幅 によって指定されます 。このペアは ジョーンズ ベクトル と呼ばれます 。あるいは、伝搬ベクトル、位相 、 および 偏光状態 を指定することもできます。 ここで は、 固定された平面内で時間の関数として電場によって描かれる曲線です。最も一般的な偏光状態は線形と円形で、これらは 最も一般的な状態である 楕円の 退化した ケースです。
け →
{\displaystyle {\vec {k}}}
え
1
{\displaystyle E_{1}}
え
2
{\displaystyle E_{2}}
（
ϵ ^
1
、
ϵ ^
2
）
{\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}
（
え
1
、
え
2
）
{\displaystyle (E_{1},E_{2})}
ϕ
{\displaystyle \phi}
Ψ
{\displaystyle \Psi}
Ψ
{\displaystyle \Psi}
偏光を記述する方法の 1 つは、偏光楕円の長半径と短半径、その方向、および回転方向を指定することです ( 上の図を参照)。ストークス パラメーター 、、、 は 、 偏 光 状態の別の記述方法であり、各パラメーターが測定可能な強度の合計または差に対応するため、実験的に便利です。次の図は、縮退状態におけるストークス パラメーターの例を示しています。
私
{\displaystyle I}
質問
{\displaystyle Q}
あなた
{\displaystyle U}
五
{\displaystyle V}
定義 ストークスパラメータは次のように定義される [ 要出典 ]
私
≡ ⟨
え
x
2
⟩ + ⟨
え
ええ
2
⟩
= ⟨
え
1つの
2
⟩ + ⟨
え
b
2
⟩
= ⟨
え
r
2
⟩ + ⟨
え
l
2
⟩ 、
質問
≡ ⟨
え
x
2
⟩ − ⟨
え
ええ
2
⟩ 、
あなた
≡ ⟨
え
1つの
2
⟩ − ⟨
え
b
2
⟩ 、
五
≡ ⟨
え
r
2
⟩ − ⟨
え
l
2
⟩ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2 }\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_ {a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\ラングルE_{l}^{2}\rangle .\end{整列}}}
ここで、下付き文字はジョーンズベクトル 空間の3つの異なる基底を表します 。標準 直交基底 ( )、45°回転した直交基底( )、および円基底( )です。円基底は 、 、 と定義されます 。
x ^
、
ええ ^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
1つの ^
、
b ^
{\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}
l ^
、
r ^
{\displaystyle {\hat {l}}、{\hat {r}}}
l ^
= （
x ^
+ 私
ええ ^
）
/
2
{\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}
r
^
=
(
x
^
−
i
y
^
)
/
2
{\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}
記号 ⟨⋅⟩ は 期待値を表します。光は、 ジョーンズ ベクトル の 空間 C 2 で値を取るランダム変数として考えることができます。任意の測定で特定の波 (特定の位相、偏光楕円、および大きさを持つ) が生成されますが、異なる結果の間でちらつきや揺れが続きます。期待値は、これらの結果のさまざまな平均です。強力だが偏光されていない光は、 I > 0 ですが
Q = U = V = 0 であり、どの偏光タイプも優勢ではないことを反映しています。説得力のある波形は、 コヒーレンス に関する記事に示されています 。
(
E
1
,
E
2
)
{\displaystyle (E_{1},E_{2})}
その反対は完全に偏光した光であり、これは固定された、変化しない振幅、つまり純粋な正弦曲線を持ちます。これは、たとえば という 1 つの値のみを持つランダム変数で表されます 。この場合、括弧を絶対値のバーに置き換えると、明確に定義された 2 次マップが得られます [ 引用が必要 ]
(
E
1
,
E
2
)
{\displaystyle (E_{1},E_{2})}
I
≡
|
E
x
|
2
+
|
E
y
|
2
=
|
E
a
|
2
+
|
E
b
|
2
=
|
E
r
|
2
+
|
E
l
|
2
Q
≡
|
E
x
|
2
−
|
E
y
|
2
,
U
≡
|
E
a
|
2
−
|
E
b
|
2
,
V
≡
|
E
r
|
2
−
|
E
l
|
2
.
{\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}
ジョーンズ ベクトルから対応するストークス ベクトルへの変換。より便利な形式を以下に示す。マップは、| I | 2 = | Q | 2 + | U | 2 + | V | 2 で定義される円錐に像を描き、状態の純度は p = 1 を満たす (以下を参照)。
次の図は、ストークスパラメータの符号が偏光楕円のヘリシティと半長軸の方向によってどのように決定されるかを示しています。
固定基数での表現 固定された（ ）基底において、 増加する位相規則 を用いる場合のストークスパラメータは 、
x
^
,
y
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
I
=
|
E
x
|
2
+
|
E
y
|
2
,
Q
=
|
E
x
|
2
−
|
E
y
|
2
,
U
=
2
R
e
(
E
x
E
y
∗
)
,
V
=
−
2
I
m
(
E
x
E
y
∗
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}
一方 、 の場合、
(
a
^
,
b
^
)
{\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}
I
=
|
E
a
|
2
+
|
E
b
|
2
,
Q
=
−
2
R
e
(
E
a
∗
E
b
)
,
U
=
|
E
a
|
2
−
|
E
b
|
2
,
V
=
2
I
m
(
E
a
∗
E
b
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}
そして については 、
(
l
^
,
r
^
)
{\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}
I
=
|
E
l
|
2
+
|
E
r
|
2
,
Q
=
2
R
e
(
E
l
∗
E
r
)
,
U
=
−
2
I
m
(
E
l
∗
E
r
)
,
V
=
|
E
r
|
2
−
|
E
l
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}
プロパティ 純粋に単色の コヒーレント 放射の場合 、上記の式から次の式が得られます。
Q
2
+
U
2
+
V
2
=
I
2
,
{\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}
一方、（非コヒーレントな）ビーム放射全体に対しては、ストークスパラメータは平均化された量として定義され、前の式は不等式となる： [6]
Q
2
+
U
2
+
V
2
≤
I
2
.
{\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}
しかし、全偏光強度を定義することができる ので、
I
p
{\displaystyle I_{p}}
Q
2
+
U
2
+
V
2
=
I
p
2
,
{\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}
ここで、 全偏光率です。
I
p
/
I
{\displaystyle I_{p}/I}
直線偏光の複素強度を次のように定義する。
L
≡
|
L
|
e
i
2
θ
≡
Q
+
i
U
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}
偏光楕円の回転に対して、 およびは不変である ことが示されます が、
θ
→
θ
+
θ
′
{\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}
I
{\displaystyle I}
V
{\displaystyle V}
L
→
e
i
2
θ
′
L
,
Q
→
Re
(
e
i
2
θ
′
L
)
,
U
→
Im
(
e
i
2
θ
′
L
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}
これらの特性により、ストークスパラメータは次の 3 つの一般化された強度を構成するものと考えることができます。
I
≥
0
,
V
∈
R
,
L
∈
C
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}
ここで は全強度、 は円偏光の強度、 は 直線偏光の強度です。偏光の全強度は であり 、回転の向きと方向は次のように表されます。
I
{\displaystyle I}
|
V
|
{\displaystyle |V|}
|
L
|
{\displaystyle |L|}
I
p
=
|
L
|
2
+
|
V
|
2
{\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}
θ
=
1
2
arg
(
L
)
,
h
=
sgn
(
V
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}
および なので 、
Q
=
Re
(
L
)
{\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}
U
=
Im
(
L
)
{\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}
|
L
|
=
Q
2
+
U
2
,
θ
=
1
2
tan
−
1
(
U
/
Q
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}
偏光楕円との関係 偏光楕円のパラメータに関して、ストークスパラメータは
I
p
=
A
2
+
B
2
,
Q
=
(
A
2
−
B
2
)
cos
(
2
θ
)
,
U
=
(
A
2
−
B
2
)
sin
(
2
θ
)
,
V
=
2
A
B
h
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}
前の式を逆にすると
A
=
1
2
(
I
p
+
|
L
|
)
B
=
1
2
(
I
p
−
|
L
|
)
θ
=
1
2
arg
(
L
)
h
=
sgn
(
V
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}
測定 ストークスパラメータ（および一部の電磁放射の偏光）は、観測から直接決定することができます。 [7] 直線偏光子 と 1/4波長板 を使用すると 、ストークスパラメータと測定された強度を関連付ける次の方程式系が得られます。 [8]
I
l
(
0
)
=
1
2
(
I
+
Q
)
I
l
(
π
4
)
=
1
2
(
I
+
U
)
I
l
(
π
2
)
=
1
2
(
I
−
Q
)
I
q
(
π
4
)
=
1
2
(
I
+
V
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{l}(0)&={\frac {1}{2}}(I+Q)\\I_{l}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+U)\\I_{l}({\frac {\pi }{2}})&={\frac {1}{2}}(I-Q)\\I_{q}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+V),\\\end{aligned}}}
ここで、 は 直線偏光子が角度 で回転したときの点における放射の放射照度であり 、同様に は 1/4 波長板が角度 で回転したときの点における放射照度です 。 両方のプレートを異なる角度で同時に使用してパラメータを測定するシステムを実装できます。 これにより、すべてのパラメータが同じ損失の影響を受けるため、パラメータの相対的な大きさをより正確に測定できます (これが多くの場合、主な目的の結果です)。
I
l
(
θ
)
{\displaystyle I_{l}(\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
I
q
(
θ
)
{\displaystyle I_{q}(\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
エルミート演算子と量子混合状態との関係 幾何学的および代数的な観点から、ストークスパラメータは、ヒルベルト空間 C 2 上の非負エルミート作用素の閉じた凸型 4 次元円錐と 1 対 1 で対応しています。パラメータ I は作用素のトレースとして機能し、作用素の行列の要素は、 ストークス作用素の線形結合の係数として機能する 4 つのパラメータ I 、 Q 、 U 、 V の単純な線形関数です。作用素の固有値と固有ベクトルは、偏光楕円パラメータ I 、 p 、 ψ 、 χ から計算できます 。
I が 1 に設定されたストークスパラメータ (つまり、トレース 1 演算子) は、 境界がブロッホ球である 量子空間 C 2の 混合状態 (または 密度演算子 ) の閉じた単位 3 次元球と 1 対 1 で対応しています。 ジョーンズベクトルは、 基礎となる空間 C 2 、つまり同じシステムの (正規化されていない) 純粋 状態 に対応します。全体的な位相 (つまり、2 つの垂直偏光軸上の 2 つの成分波間の共通位相係数) は、純粋状態 |φ⟩ から対応する混合状態 |φ⟩⟨φ| に移行するときに失われることに注意してください。これは、ジョーンズベクトルから対応するストークスベクトルに移行するときに失われるのと同じです。
水平偏光状態と垂直偏光状態 に基づいて 、+45° 直線偏光状態は 、-45° 直線偏光状態は 、左側円偏光状態は 、右側円偏光状態は です 。これらの状態が パウリ行列 の固有ベクトル であり、正規化されたストークスパラメータ ( U/I 、 V/I 、 Q/I ) が ブロッホベクトル ( 、 、 ) の座標に対応することは簡単にわかります。同様に、 、 、 となり 、 は 混合状態の
密度行列 です。
|
H
⟩
{\displaystyle |H\rangle }
|
V
⟩
{\displaystyle |V\rangle }
|
+
⟩
=
1
2
(
|
H
⟩
+
|
V
⟩
)
{\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}
|
−
⟩
=
1
2
(
|
H
⟩
−
|
V
⟩
)
{\displaystyle |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )}
|
L
⟩
=
1
2
(
|
H
⟩
+
i
|
V
⟩
)
{\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}
|
R
⟩
=
1
2
(
|
H
⟩
−
i
|
V
⟩
)
{\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}
a
x
{\displaystyle a_{x}}
a
y
{\displaystyle a_{y}}
a
z
{\displaystyle a_{z}}
U
/
I
=
t
r
(
ρ
σ
x
)
{\displaystyle U/I=tr\left(\rho \sigma _{x}\right)}
V
/
I
=
t
r
(
ρ
σ
y
)
{\displaystyle V/I=tr\left(\rho \sigma _{y}\right)}
Q
/
I
=
t
r
(
ρ
σ
z
)
{\displaystyle Q/I=tr\left(\rho \sigma _{z}\right)}
ρ
{\displaystyle \rho }
一般に、角度 θ での直線偏光は純粋な量子状態 である ため、 密度行列 を持つ混合状態光源に対する角度 θ での直線 偏光子/検光子 の 透過率 は で、 の場合は 最大透過率は で、 の場合は で最大透過率となります。 の 最小 透過 率 は、 最大透過率の方向に対して垂直な で達成されます。 ここで、最大透過率と最小透過率の比は 消光比 として定義され、 直線偏光の度合いは です 。 同様に、透過率の式は と書き直すことができ、これは マリュスの法則 の拡張形です 。 ここで、 は両方とも非負であり、 は消光比 と関連しています 。 正規化されたストークスパラメータの 2 つは、 によって計算することもできます 。
|
θ
⟩
=
cos
θ
|
H
⟩
+
sin
θ
|
V
⟩
{\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }
ρ
=
1
2
(
I
+
a
x
σ
x
+
a
y
σ
y
+
a
z
σ
z
)
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+a_{x}\sigma _{x}+a_{y}\sigma _{y}+a_{z}\sigma _{z}\right)}
t
r
(
ρ
|
θ
⟩
⟨
θ
|
)
=
1
2
(
1
+
a
x
sin
2
θ
+
a
z
cos
2
θ
)
{\displaystyle tr(\rho |\theta \rangle \langle \theta |)={\frac {1}{2}}\left(1+a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta }\right)}
1
2
(
1
+
a
x
2
+
a
z
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}
θ
0
=
1
2
arctan
(
a
x
/
a
z
)
{\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}}
a
z
>
0
{\displaystyle a_{z}>0}
θ
0
=
1
2
arctan
(
a
x
/
a
z
)
+
π
2
{\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}+{\frac {\pi }{2}}}
a
z
<
0
{\displaystyle a_{z}<0}
1
2
(
1
−
a
x
2
+
a
z
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}
E
R
=
(
1
+
D
O
L
P
)
/
(
1
−
D
O
L
P
)
{\displaystyle ER=(1+DOLP)/(1-DOLP)}
D
O
L
P
=
a
x
2
+
a
z
2
{\displaystyle DOLP={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}}}
A
cos
2
(
θ
−
θ
0
)
+
B
{\displaystyle A\cos ^{2}{(\theta -\theta _{0})}+B}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
E
R
=
(
A
+
B
)
/
B
{\displaystyle ER=(A+B)/B}
a
x
=
D
O
L
P
sin
2
θ
0
,
a
z
=
D
O
L
P
cos
2
θ
0
,
D
O
L
P
=
(
E
R
−
1
)
/
(
E
R
+
1
)
{\displaystyle a_{x}=DOLP\sin {2\theta _{0}},\,a_{z}=DOLP\cos {2\theta _{0}},\,DOLP=(ER-1)/(ER+1)}
また、偏光軸を角度 θ だけ回転すると、 ブロッホ球の回転演算子 に対応することにも注意してください。たとえば、水平偏光状態 は に回転します 。水平軸に揃えられた 1/4 波長板の効果は 、または同等の 位相ゲート S で記述され、結果として得られるブロッホ ベクトルは になります。この構成では、回転検光子法を実行して消光比を測定すると、 を計算し て検証することも できます 。この方法が機能するには、波長板の高速軸と低速軸が基底状態の基準方向と揃っている必要があります。
R
y
(
2
θ
)
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R_{y}(2\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}
|
H
⟩
{\displaystyle |H\rangle }
|
θ
⟩
=
cos
θ
|
H
⟩
+
sin
θ
|
V
⟩
{\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }
R
z
(
π
/
2
)
=
[
e
−
i
π
/
4
0
0
e
+
i
π
/
4
]
{\displaystyle R_{z}(\pi /2)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /4}&0\\0&e^{+i\pi /4}\end{bmatrix}}}
(
−
a
y
,
a
x
,
a
z
)
{\displaystyle (-a_{y},a_{x},a_{z})}
a
y
{\displaystyle a_{y}}
a
z
{\displaystyle a_{z}}
角度 θ だけ回転した 1/4 波長板の効果は、 ロドリゲスの回転式 で 、 として 決定できます 。水平軸に沿った直線偏光子 (検光子プレート) を通過する結果として得られる光の透過率は、同じロドリゲスの回転式を使用して、および 上の成分に注目して計算できます 。
R
n
(
π
/
2
)
=
1
2
I
−
i
1
2
(
n
^
⋅
σ
→
)
{\displaystyle R_{n}(\pi /2)={\frac {1}{\sqrt {2}}}I-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}
n
^
=
z
^
cos
2
θ
+
x
^
sin
2
θ
{\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}\cos {2\theta }+{\hat {x}}\sin {2\theta }}
I
{\displaystyle I}
σ
z
{\displaystyle \sigma _{z}}
T
=
t
r
[
R
n
(
π
/
2
)
ρ
R
n
(
−
π
/
2
)
|
H
⟩
⟨
H
|
]
=
1
2
[
1
+
a
y
sin
2
θ
+
(
n
^
⋅
a
→
)
cos
2
θ
]
=
1
2
[
1
+
a
y
sin
2
θ
+
(
a
x
sin
2
θ
+
a
z
cos
2
θ
)
cos
2
θ
]
=
1
2
(
1
+
a
y
sin
2
θ
+
D
O
L
P
×
cos
(
4
θ
−
2
θ
0
)
+
cos
(
2
θ
0
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}}
上記の式は、多くの偏光計の理論的基礎です。 偏光されていない光 の場合、T = 1/2 は定数です。純粋に円偏光の場合、T は角度 θ に対して 180 度の周期で正弦波のように変化し、T = 0 のところで絶対消光に達することができます。純粋に直線偏光の場合、T は角度 θ に対して 90 度の周期で正弦波のように変化し、絶対消光は元の光の偏光が偏光子から 90 度のとき（つまり ）にのみ達します。この構成では、 および となり 、θ = 45° で最大値 1/2 となり、θ = 0° で消光点となります。この結果を使用して、たとえば偏光ビームスプリッターを使用して 検光子 プレートに位置合わせされた直線偏光を取得し、その間に 1/4 波長板を回転させることにより、1/4 波長板の高速軸または低速軸を正確に決定できます。
a
z
=
−
1
{\displaystyle a_{z}=-1}
θ
0
=
π
2
{\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}
T
=
1
−
cos
(
4
θ
)
4
{\displaystyle T={\frac {1-\cos {(4\theta )}}{4}}}
同様に、角度θだけ回転した半波長板の効果は で表され 、密度行列は次のように変換されます。
R
n
(
π
)
=
−
i
(
n
^
⋅
σ
→
)
{\displaystyle R_{n}(\pi )=-i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}
R
n
(
π
)
ρ
R
n
(
−
π
)
=
1
2
(
I
+
a
→
⋅
[
−
σ
→
+
2
n
^
(
n
^
⋅
σ
→
)
]
)
=
1
2
[
I
−
a
→
⋅
σ
→
+
2
(
n
^
⋅
a
→
)
(
n
^
⋅
σ
→
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}}
上記の式は、元の光が純粋な直線偏光（すなわち ）である場合、半波長板の後の結果として生じる光は、 主軸が回転した純粋な直線偏光（すなわち成分なし）のままであることを示しています。このような直線偏光の回転は、90 度の周期で角度 θ に正弦波的に依存します。
a
y
=
0
{\displaystyle a_{y}=0}
σ
y
{\displaystyle \sigma _{y}}
参照
注記
^ ストークス、GG（1851）。異なる光源からの偏光光の流れの構成と解像度について。ケンブリッジ哲学協会紀要、9、399。 ^ S. Chandrasekhar Radiative Transfer 、Dover Publications、ニューヨーク、1960年、 ISBN 0-486-60590-6、25 ページ ^ Perrin, F. (1942). 等方性乳白色媒体によって散乱された光の偏光。化学物理学ジャーナル、10(7)、415-427。 ^ 「S. Chandrasekhar - セッション II」。 オーラル ヒストリー インタビュー 。AIP。1977 年 5 月 18 日。 ^ Chandrasekhar, S. (1947). 恒星大気中の放射の伝達。アメリカ数学会誌、53(7), 641-711。 ^ HC van de Hulst 「小粒子による光散乱」 、Dover Publications、ニューヨーク、1981年、 ISBN 0-486-64228-3、42 ページ ^ ジャクソン、300ページ ^ ストーン、313-317ページ
参考文献 ジャクソン、JD、 古典電気力学、ジョン・ワイリー・ アンド ・サンズ、1999年。ISBN 9780471309321 ストーン、JM、 「放射線と光学」 、McGraw-Hill、1963年。 Collett, E., Field Guide to Polarization 、SPIE Field Guides vol. FG05 、SPIE、2005年 。ISBN 0-8194-5868-6 。 E. Hecht, Optics 、第2版、Addison-Wesley (1987)。ISBN 0-201-11609 -X 。 William H. McMaster (1954). 「偏光とストークスパラメータ」 Am. J. Phys . 22 (6): 351. Bibcode :1954AmJPh..22..351M. doi :10.1119/1.1933744. William H. McMaster (1961). 「偏光の行列表現」 Rev. Mod. Phys . 33 (1): 8. Bibcode :1961RvMP...33....8M. doi :10.1103/RevModPhys.33.8.
![{\displaystyle {\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428acf409cef6251a313594462e4b2256b5305d2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c64cb5f91773784d9f8fab2e023245c9c33cc1)
