ジョーンズ計算

光学において、偏光は1941年にRCジョーンズによって発明されたジョーンズ計算^[1]を使って記述することができます。偏光はジョーンズベクトルで表され、線形光学要素はジョーンズ行列で表されます。光が光学要素を通過するとき、出射光の偏光は、光学要素のジョーンズ行列と入射光のジョーンズベクトルの積をとることによって求められます。ジョーンズ計算は、すでに完全に偏光している光にのみ適用できることに留意してください。ランダムに偏光した光、部分的に偏光した光、または非干渉性の光は、ミュラー計算を使って扱う必要があります。

ジョーンズ ベクトルは、自由空間または他の均質な 等方性 非減衰媒体における光の偏光を記述します。この場合、光は横波として適切に記述できます。単色平面光の波が、角周波数ω、波数k = ω / cの波動ベクトルk = (0,0, k )で正のz方向に進んでいるとします。この場合、電場Eと磁場H は各点でkに直交します。つまり、どちらも移動方向に対して「横方向」の平面にあります。さらに、H は、媒体の波動インピーダンスに応じて、90 度回転と固定乗数によってEから決定されます。したがって、光の偏光はE を調べることで決定できます。E の複素振幅は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _ {y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.}$

物理的なEフィールドはこのベクトルの実数部であり、複素乗数は位相情報を提供することに注意してください。ここでは、の虚数単位を示します。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

ジョーンズベクトルは

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

したがって、ジョーンズ ベクトルは、 x方向とy方向の電界の振幅と位相を表します 。

ジョーンズ ベクトルの 2 つの成分の絶対値の 2 乗の合計は、光の強度に比例します。計算の開始時点では、簡略化のためにこれを 1 に正規化するのが一般的です。また、ジョーンズ ベクトルの最初の成分を実数に制限することも一般的です。これにより、他のビームとの干渉の計算に必要な全体的な位相情報が破棄されます。

この記事のすべてのジョーンズ ベクトルと行列は、光波の位相が で与えられるという、ヘクトが使用した規則を採用していることに注意してください。この規則では、(または) の増加は位相の遅れ (遅延) を示し、減少は位相の進みを示します。たとえば、ジョーンズ ベクトルの成分( )は、1 ( ) と比較して (または 90 度)遅れていることを示します。コレットは位相 ( ) に反対の定義を使用しています。また、コレットとジョーンズは、円偏光の左右の定義について異なる規則に従っています。ジョーンズの規則は「受信機の観点から」と呼ばれ、コレットの規則は「ソースの観点から」と呼ばれます。ジョーンズ計算に関する参考文献を参照する際は、規則の選択に注意する必要があります。 ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$${\displaystyle \phi_{x}}$${\displaystyle \phi_{y}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle =e^{0}}$${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$

次の表は、正規化されたジョーンズ ベクトルの 6 つの一般的な例を示しています。

表面上の任意の場所を指す一般的なベクトルはケット と表記されます。ポアンカレ球(ブロッホ球とも呼ばれます) を使用する場合、基底ケット (および) は、上記のケットの反対 (反対趾) ペアに割り当てられる必要があります。たとえば、 =および=を割り当てることができます。これらの割り当ては任意です。反対のペアは ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |V\rangle}$

• ${\displaystyle |H\rangle }$そして${\displaystyle |V\rangle}$
• ${\displaystyle |D\rangle}$そして${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle}$そして${\displaystyle |L\rangle }$

等しくなく、円上にもない任意の点の偏光は、楕円偏光として知られています。 ${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$

ジョーンズ行列は、上で定義したジョーンズ ベクトルに作用する演算子です。これらの行列は、レンズ、ビーム スプリッター、ミラーなどのさまざまな光学要素によって実装されます。各行列は、ジョーンズ ベクトルの 1 次元複素サブスペースへの投影を表します。次の表は、偏光子のジョーンズ行列の例を示しています。

位相遅延器は、単色偏光ビームの2つの直交偏光成分間の位相差を生成する光学素子である。^[3] 数学的には、ジョーンズベクトルを表すためにケットを使用すると、位相遅延器の作用は偏光を持つ光を変換することであることを意味する。

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

に

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

ここで、 は位相遅延器の物理的性質によって決定される直交偏光成分（すなわち）である。一般に、直交成分は任意の2つの基底ベクトルになり得る。例えば、円形位相遅延器の作用は次のようになる。 ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

ただし、議論や実践では、直線偏光である直線位相遅延器の方が一般的に使用されています。実際、「位相遅延器」という用語は、直線位相遅延器を指すために使用されることもあります。 ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$

線形位相遅延器は通常、方解石、MgF ₂、石英などの複屈折 一軸結晶で作られています。この目的でこれらの材料で作られたプレートは、波長板と呼ばれます。一軸結晶には、他の 2 つの結晶軸とは異なる 1 つの結晶軸があります (つまり、n _i ≠ n _j = n _k )。この固有の軸は異常軸と呼ばれ、光軸とも呼ばれます。光軸は、手元の結晶に応じて、結晶の高速軸または低速軸になります。光は、最小の屈折率を持つ軸に沿ってより高速な位相速度で進み、この軸は高速軸と呼ばれます。同様に、最大の屈折率を持つ軸は、光の位相速度がこの軸に沿って最も低くなるため、低速軸と呼ばれます。 「負」の一軸結晶（例：方解石CaCO ₃、サファイアAl ₂ O ₃）はn _e < n _oであるため、これらの結晶では異常軸（光軸）が高速軸になります。一方、「正」の一軸結晶（例：石英SiO ₂、フッ化マグネシウムMgF ₂、ルチルTiO ₂）では、n _e > n _oであるため、異常軸（光軸）が低速軸になります。その他の市販の線形位相遅延器も存在し、より特殊な用途で使用されています。フレネル菱形はそのような代替品の 1 つです。

高速軸がx軸またはy軸として定義される線形位相遅延器は、対角外項がゼロであるため、次のように簡単に表現できます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

ここで、 およびは、それぞれおよび方向の電界の位相オフセットです。位相規則 では、2 つの波間の相対位相を と定義します。この場合、正(つまり> )は、 が と同じ値に達するのは後の時間まで、つまり がに先行することを意味します。同様に、 の場合、 は に先行します。 ${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \phi _{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \phi _{y}}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle \epsilon <0}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$

たとえば、1/4 波長板の高速軸が水平の場合、水平方向の位相速度は垂直方向よりも進んでいます。つまり、 が先行します。したがって、 1/4 波長板の場合は となります。 ${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$

逆の規則では、相対位相を と定義します。この場合、 は、後の時点までと同じ値に到達しない、つまり がに先行することを意味します。 ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$

任意の複屈折物質に対するジョーンズ行列は、ジョーンズ計算における偏光変換の最も一般的な形式であり、任意の偏光変換を表すことができる。これを確認するには、次に示す。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

上記の行列はSU(2)の要素に対する一般的なパラメータ化であり、

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

ここで上線は複素活用を表します。

最後に、ユニタリ変換の集合は次のように表せることを認識する。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

任意の複屈折材料のジョーンズ行列は、位相係数 までの任意のユニタリ変換を表すことが明らかになります。したがって、、、および を適切に選択すると、位相係数 までの任意の 2 つのジョーンズ ベクトル間の変換を見つけることができます。ただし、ジョーンズ計算では、このような位相係数はジョーンズ ベクトルの表される偏光を変更しないため、任意と見なされるか、設定された規則に準拠するためにアドホックに課されます。 ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$

位相遅延材の特殊な表現は、複屈折材料の一般式において適切なパラメータ値を取ることによって得られる。^[7]一般式では：

• 高速軸と低速軸の間に生じる相対位相遅れは次のように表される。${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$x軸に対する高速軸の方向です。
• ${\displaystyle \phi }$循環性です。

線形位相子の場合、= 0 であり、円形位相子の場合、= ± /2、= /4 であることに注意してください。一般に、楕円位相子の場合、は- /2 から/2の間の値を取ります。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

光学素子の光軸^{[明確化が必要]が}入射面^{[明確化が必要]}の 表面ベクトルに垂直であり、この表面ベクトルを中心に角度θ/2回転していると仮定します(つまり、光軸が通過する主平面^{[明確化が必要]は、入射 TE 波の電界[明確化が必要]}の偏光面に対して角度θ/2を形成します)。半波長板は、入射偏光と光軸 (主平面) の間の角度の2 倍の偏光を回転することを思い出してください。したがって、回転偏光状態のジョーンズ行列 M( θ ) は、

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

どこ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

これは、上の表の半波長板の式と一致します。これらの回転は、光学物理学におけるビームユニタリースプリッター変換と同一であり、

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

ここで、プライム付きとプライムなしの係数は、ビームスプリッターの反対側から入射するビームを表します。反射成分と透過成分は、それぞれ位相θ _rとθ _{t を}取得します。要素の有効な表現の要件は^[8]です。

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

そして ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

これら両方の表現はこれらの要件に適合するユニタリ行列であり、したがって両方とも有効です。

これには3次元回転行列が関係します。これに関する研究についてはラッセル・A・チップマンとガラム・ユンを参照してください。^{[9] [10] [11] [12] [13]}

• 二極化
• 散乱パラメータ
• ストークスパラメータ
• ミュラー計算
• 光子の偏光

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• D. Goldstein および E. Collett、『Polarized Light』、第 2 版、CRC Press (2003)。ISBN 0-8247-4053 -X。 
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