偏差（統計）

数学と統計学において 、偏差は、変数の観測値と別の指定値（多くの場合、その変数の平均）との間の差異を定量化する尺度として機能します。標本平均および母平均（または「真の値」）に対する偏差は、それぞれ誤差および残差と呼ばれます。偏差の符号は、その差の方向を示します。観測値が基準値を超える場合、偏差は正になります。偏差の絶対値は、差の大きさまたは大きさを示します。特定の標本では、標本点と同じ数の偏差があります。要約統計量は、標準偏差、平均絶対偏差、分散の尺度、およびバイアスの尺度である平均符号付き偏差などの偏差のセットから導き出すことができます。^[1]

各データ ポイントの偏差は、データ セットの平均を個々のデータ ポイントから減算することによって計算されます。数学的には、データ セット内のデータ ポイントxの平均mに対する偏差d は、次の差で表されます。

${\displaystyle d=xm}$

この計算は、データ ポイントの平均からの「距離」を表し、個々の値が平均からどれだけ離れているかに関する情報を提供します。正の偏差は平均を上回る値を示し、負の偏差は平均を下回る値を示します。^[1]

二乗偏差の合計は、データセットの広がりや分散の別の尺度である分散を計算するための重要な要素です。分散は二乗偏差を平均化することで計算されます。偏差は、統計分析におけるデータポイントの分布と変動性を理解するための基本的な概念です。^[1]

観測値と関心のある量の真の値（真の値は母平均などの期待値を表す）との差である偏差は誤差である。 ^[2]

観測値と真の値の推定値（例えば標本平均）との差である偏差は残差である。これらの概念は、測定の間隔レベルと比率レベルのデータに適用できる。 ^[3]

• 統計学における絶対偏差は、個々のデータポイントと中央値（通常はデータセットの平均または中央値）との全体的な差を測定する指標です。これは、各データポイントと中央値との差の絶対値を取得し、これらの絶対差を平均化することによって決定されます。^[4]式は次のように表されます。

$${\displaystyle D_{i}=|x_{i}-m(X)|,}$$どこ

• D _{i は}絶対偏差であり、
• x _{i は}データ要素であり、
• m ( X ) はデータセットの中心傾向の尺度として選択されたもので、平均値( ) の場合もありますが、ほとんどの場合は中央値です。${\displaystyle {\overline {x}}}$

統計における平均絶対偏差（AAD）は、データポイントの集合が中心値（通常は平均値または中央値）の周囲にどれだけ分散しているかを表す尺度です。これは、各データポイントと選択された中心値との絶対差の平均を取ることによって計算されます。AADは、データセットの中心値からの偏差の典型的な大きさを表す尺度を提供し、データの全体的な変動性についての洞察を提供します。^[5]

最小絶対偏差 (LAD) は、回帰分析で線形モデルの係数を推定するために使用される統計手法です。観測値と予測値の間の垂直距離の二乗の合計 (残差) を最小化する一般的な最小二乗法とは異なり、LAD 法は絶対垂直距離の合計を最小化します。

線形回帰の文脈では、( x ₁ , y ₁ )、( x ₂ , y ₂ )、...がデータポイントであり、aとbが線形モデルに対して推定される係数である 場合、

${\displaystyle y=b+(a*x)}$

最小絶対偏差推定値（aとb）は、合計を最小化することによって得られます。

LAD法は最小二乗法に比べて外れ値に対する感度が低いため、歪んだ残差分布や裾の重い残差分布が存在する場合でも堅牢な回帰手法となります。^[6]

不偏推定量の場合、観測されていない母数パラメータ値からのすべての観測値セット全体にわたる符号付き偏差の平均は、任意の多数のサンプルにわたって平均するとゼロになります。ただし、構造上、サンプル平均値からの値の符号付き偏差の平均は常にゼロですが、サンプル中央値などの他の中心傾向の尺度からの平均符号付き偏差はゼロである必要はありません。

平均符号付き偏差は、一連の値の平均偏差を中心点（通常は平均）から評価するために使用される統計的尺度です。これは、各データ ポイントとデータセットの平均間の符号付き差の算術平均を取ることによって計算されます。

「符号付き」という用語は、偏差がそれぞれの符号付きで考慮されることを示します。つまり、偏差が平均より上か下かということです。正の偏差（平均より上）と負の偏差（平均より下）が計算に含まれます。平均符号付き偏差は、データポイントの平均距離と平均からの方向の尺度を提供し、データの全体的な傾向と分布についての洞察を提供します。^[3]

偏差の分布の統計は、統計的分散の尺度として使用されます。

• 標準偏差は、データセットの広がりや分散を測る指標として広く使用されています。データセットの平均からの個々のデータポイントの変動または偏差の平均量を定量化します。二乗偏差を使用し、望ましい特性を備えています。標準偏差は極端な値に敏感であるため、 堅牢ではありません。^[7]
• 平均絶対偏差は、極端な値の影響が少ないデータセットの分散の尺度です。これは、各データポイントと平均の絶対差を求め、これらの絶対差を合計し、観測数で割ることによって計算されます。この指標は、標準偏差と比較して、変動性のより堅牢な推定を提供します。^[8]
• 中央絶対偏差は、データセットの広がりを測定するために平均ではなく中央値を使用する堅牢な統計です。これは、各データポイントと中央値との絶対差を求め、これらの絶対差の中央値を計算することから始まります。これにより、中央絶対偏差は外れ値の影響を受けにくくなり、標準偏差に代わる堅牢な方法となります。^[9]
• 最大絶対偏差は 、個々のデータポイントとデータセットの平均との間の最大差を直接的に測定するものです。しかし、単一の極値によって不均衡に影響を受ける可能性があるため、非常に非堅牢です。この指標は、外れ値を含むデータセットを扱う場合、分散の信頼できる測定基準を提供しない可能性があります。^[8]

偏差は、観測値と何らかの基準点との差を測定するもので、使用される測定スケールに対応する単位が本質的に付いています。たとえば、長さを測定する場合、偏差はメートルやフィートなどの単位で表されます。偏差を無単位にして、異なるデータセット間での比較を容易にするために、 を無次元化することができます。

一般的な方法の 1 つは、偏差を尺度 (統計的分散) で割り、標準化には母集団標準偏差を使用し、スチューデント化にはサンプル標準偏差(例:スチューデント化残差) を使用することです。

無次元化のもう1つのアプローチは、分散ではなく場所によるスケーリングに焦点を当てています。パーセント偏差は、この方法の実例であり、観測値と許​​容値の差として計算され、許容値で割って100％を掛けます。偏差を許容値に基づいてスケーリングすることにより、この手法では偏差をパーセンテージで表すことができ、観測値と許​​容値の相対的な差を明確に把握できます。両方の無次元化方法は、特定の測定単位を超えて偏差を比較および解釈できるようにすることを目的としています。^[10]

1 つの例では、特定の媒体における音速の一連の測定が行われます。理論的な計算に基づくと、この媒体における音速の許容値または予測値は 343 メートル/秒です。

さて、実験中に、異なる研究者が複数の測定を行います。研究者 A は音速を毎秒 340 メートルと測定し、予想値から毎秒 -3 メートルの偏差が生じます。一方、研究者 B は音速を毎秒 345 メートルと測定し、毎秒 +2 メートルの偏差が生じます。

この科学的な文脈では、偏差は個々の測定値が理論的に予測された値または受け入れられた値とどの程度異なるかを定量化するのに役立ちます。偏差は実験結果の正確さと精度に関する洞察を提供し、研究者がデータの信頼性を評価し、矛盾の原因となる要因を特定できるようにします。

別の例として、化学反応により、化学量論に基づいて特定の化合物が 100 グラム生成されると予想されるとします。しかし、実際の実験室実験では、異なる条件で複数の試行が行われます。

試行 1 では、実際の収量は 95 グラムと測定され、予想収量から -5 グラムの偏差が生じました。試行 2 では、実際の収量は 102 グラムと測定され、+2 グラムの偏差が生じました。予想値からのこれらの偏差は、さまざまな条件下での化学反応の効率と再現性に関する貴重な情報を提供します。

科学者はこれらの偏差を分析することで、反応条件を最適化し、潜在的なエラーの原因を特定し、プロセスの全体的な収量と信頼性を向上させることができます。偏差の概念は、実験結果の精度を評価し、科学的実験の成果を高めるための情報に基づいた決定を下す上で非常に重要です。

• 異常現象（自然科学）
• 偏差の二乗
• 逸脱（統計）
• 分散